В теннисном турнире все игроки должны были сыграть друг с другом ровно один раз. однако уже во время турнира трое игроков отказались от участия. Мы знаем что каждый из выбывших сыграл по две игры и что в соревновании было сыграно ровно 50 игр. сколько игроков стартовало в турнире

Для решения задачи давайте обозначим количество стартовавших игроков как \( n \). В турнире каждый игрок должен сыграть с каждым другим игроком ровно по одной игре, что означает, что общее количество игр в турнире можно вычислить по формуле:

\[ \frac{n(n-1)}{2} \]

Это количество игр, если бы все \( n \) игроков сыграли. Однако, мы знаем, что трое игроков решили покинуть турнир. Каждый из этих троих сыграл две игры. Следовательно, если бы они остались, они внесли бы в общее количество игр \( \frac{3(3-1)}{2} = 3 \) игры, но каждому игроку из троих не удалось завершить эти игры, так как они отказались.

Итак, общее количество игр, которые состоялись, можно выразить с учетом выбывших игроков следующим образом:

\[ \frac{n(n-1)}{2} - \text{игры, которые не состоялись} \]

Каждый из троих выбывших игроков не сыграл по одной игре с каждым из двух других выбывших, а значит не состоялось 3 игры. Таким образом, у нас остаётся:

\[ \frac{n(n-1)}{2} - 3 = 50 \]

Теперь, прибавим 3 к обеим сторонам уравнения:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 53 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ n(n-1) = 106 \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Это квадратное уравнение можно переписать в форме:

\[ n^2 - n - 106 = 0 \]

Решим его с помощью формулы квадратного уравнения \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1, b = -1, c = -106 \):

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-106)}}{2 \cdot 1} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 424}}{2} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{425}}{2} \]

Корень из 425 — это примерно 20.615, значит:

\[ n = \frac{1 + 20.615}{2} \approx 10.8075 \]

Так как количество игроков не может быть дробным, попробуем проверить ближайшие целые числа. Проверив \( n = 14 \):

\[ n(n-1) = 14 \times 13 = 182 \] \[ \frac{182}{2} = 91 \]

Это больше 53, поэтому попробуем \( n = 13 \):

\[ n(n-1) = 13 \times 12 = 156 \] \[ \frac{156}{2} = 78 \]

Этого тоже нет. Нам нужно взять более низкое значение. Попробуем \( n = 10 \):

\[ n(n-1) = 10 \times 9 = 90 \] \[ \frac{90}{2} = 45 \]

Таким образом, можно проверить:

Попробуем \( n=12 \):

\[ 12 \times 11 = 132 \]

Принимаем, что:

\[ \frac{132}{2} - 3 = 60 - 3 = 57. \]

Итак, сыграв правильно, можно заключить, что изначально в турнире было 13 игроков.