На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач - больше Феди, а Мотя на 4 задачи больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в…

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Обозначим количество задач, решённых каждым участником:

• Пусть количество задач, решённых Федей, обозначим как \( F \).
• Тогда Катя решила \( F + 5 \) задач.
• Пусть Паша решил \( P \) задач, тогда Мотя решил \( P + 4 \) задач.

Таким образом, у нас есть следующие выражения:

• Катя: \( K = F + 5 \)
• Федя: \( F = F \)
• Мотя: \( M = P + 4 \)
• Паша: \( P = P \)

Из условия мы знаем, что в сумме задачи, решённые двумя лучшими участниками, составляют 15. Таким образом, нам необходимо составить уравнение, используя условия по количеству задач:

1. Рассмотрим возможные пары участников, которые могли бы составить сумму в 15 задач. Это могут быть:
   • Катя и Мотя
   • Катя и Паша
   • Федя и Мотя
   • Федя и Паша
   • Мотя и Паша

Давайте рассмотрим каждую пару:

1. Катя и Мотя:

\[ (F + 5) + (P + 4) = 15 \] \[ F + P + 9 = 15 \] \[ F + P = 6 \]

2. Катя и Паша:

\[ (F + 5) + P = 15 \] \[ F + P + 5 = 15 \] \[ F + P = 10 \]

3. Федя и Мотя:

\[ F + (P + 4) = 15 \] \[ F + P + 4 = 15 \] \[ F + P = 11 \]

4. Федя и Паша:

\[ F + P = 15 \] \[ F + P = 15 \]

5. Мотя и Паша:

\[ (P + 4) + P = 15 \] \[ 2P + 4 = 15 \] \[ 2P = 11 \] \[ P = 5.5 \] (неподходящее, так как количество задач должно быть целым)

Теперь рассмотрим суммы, которые получаем из уравнений. Таким образом, мы имеем 3 возможных уравнения:

1. \( F + P = 6 \)
2. \( F + P = 10 \)
3. \( F + P = 11 \)

Для каждого случая нам нужно знать, какие могут быть значения \( F \) и \( P \), чтобы все числа были целыми и различными.

Анализ возможных решений:

1. Для \( F + P = 6 \):

   • \( F = 1, P = 5 \): Катя \( 6 \), Мотя \( 9 \) - невыполнимо, т.к. задания равны
   • \( F = 2, P = 4 \): Катя \( 7 \), Мотя \( 8 \) - подходит
   • \( F = 3, P = 3 \): задачи не могут быть равны

2. Для \( F + P = 10 \):

   • \( F = 1, P = 9 \): Катя \( 6 \), Мотя \( 13 \) - невыполнимо, т.к. задания равны
   • \( F = 2, P = 8 \): Катя \( 7 \), Мотя \( 12 \) - невыполнимо, т.к. задачи равны
   • \( F = 3, P = 7 \): Катя \( 8 \), Мотя \( 11 \) - невыполнимо, т.к. задачи равны
   • \( F = 4, P = 6 \): Катя \( 9 \), Мотя \( 10 \) - подходит

3. Для \( F + P = 11 \):

   • \( F = 1, P = 10 \): Катя \( 6 \), Мотя \( 14 \) - невыполнимо, задачи равны
   • \( F = 2, P = 9 \): Катя \( 7 \), Мотя \( 13 \) - невыполнимо, задачи равны
   • \( F = 3, P = 8 \): Катя \( 8 \), Мотя \( 12 \) - невыполнимо
   • \( F = 4, P = 7 \): Катя будет \( 9 \), Мотя \( 11 \) - подходит
   • \( F = 5, P = 6 \): Катя \( 10 \), Мотя \( 10 \) - невыполнимо из-за равенства

Таким образом, подходящие сочетания — это:

• Если \( F = 2, P = 4 \): \( K = 7 \), \( M = 8 \)
• Если \( F = 4, P = 7 \): \( K = 9 \), \( M = 11 \)

Теперь подсчитаем общее количество задач:

1. \( F = 2, P = 4 \): \[ F + K + M + P = 2 + 7 + 8 + 4 = 21 \]

2. \( F = 4, P = 7 \): \[ F + K + M + P = 4 + 9 + 11 + 7 = 31 \]

Итак, возможные варианты общего числа задач, решённых всеми участниками, это 21 и 31.