В правильный шестиугольник со стороной 1 вписали окружность. Точку ее касания с одной из его сторон соединили с концами противоположной стороны. Найдите длину хорды, которая…

Для решения задачи о нахождении длины хорды, которая образуется при соединении точки касания окружности с одной из сторон правильного шестиугольника с концами противоположной стороны, начнем с анализа геометрических свойств данной фигуры.

1. Свойства правильного шестиугольника: В правильном шестиугольнике все стороны равны, и все углы равны. Сторона шестиугольника равна 1. Например, если обозначить вершины шестиугольника как A, B, C, D, E, F, то AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1.

2. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности (r) правильного шестиугольника можно найти по формуле: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] где \(a\) — длина стороны шестиугольника. В нашем случае \(a = 1\), следовательно: \[ r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

3. Координаты вершин: Если расположить шестиугольник в системе координат, то его вершины будут иметь координаты:

   • \(A(1, 0)\)
   • \(B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(D(-1, 0)\)
   • \(E\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

4. Точка касания окружности и соединение с противоположной стороной: Пусть точка касания окружности с одной из сторон (например, с AB) будет обозначена как \(T\) и находится на прямой AB. Поскольку AB - горизонтальная линия, \(T\) будет иметь координаты \(T\left(\frac{1}{2}, 0\right)\).

5. Координаты концов противоположной стороны: Концы противоположной стороны (CD) имеют координаты:

   • \(C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(D(-1, 0)\)

6. Длина хорды: Теперь найдем длину отрезка, который соединяет точку \(T\) с концами \(C\) и \(D\). Обозначим длину хорды \(L\), тогда: \[ L^2 = d(T, C)^2 + d(T, D)^2, \] где \(d(T, C)\) и \(d(T, D)\) — длины отрезков TC и TD соответственно.

   Рассчитаем:

   1. \(d(T, C) = \sqrt{\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}\)

   2. \(d(T, D) = \sqrt{\left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{2}\)

7. Итоговая длина хорды: Используя формулы для длины отрезка, получаем: \[ L = d(T, C) + d(T, D) = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{7} + 3}{2}. \]

Таким образом, длина хорды, которая образуется в результате соединения точки касания с концами противоположной стороны, равна \(\frac{\sqrt{7} + 3}{2}\).