В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего…
В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим ситуацию.
В верхнем ящике изначально лежит:
- 10 белых кубиков
- 15 черных кубиков
В нижнем ящике:
- 15 белых кубиков
- 10 черных кубиков
После того как Ваня взял два кубика из верхнего ящика, а Толя — два кубика из нижнего ящика, они обменяли свои кубики. Нам нужно найти вероятность того, что после обмена в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.
Ваня берет два кубика из верхнего ящика. Нам необходимо выяснить, каким образом он мог взять кубики, чтобы в результате в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков. Это может произойти в следующих случаях:
- Ваня берет 1 белый и 1 черный кубик.
- Ваня берет 2 черных кубика.
Так как изменение в верхнем ящике зависит от того, какие кубики Ваня положит в нижний ящик.
Определим вероятность каждого из исходов:
Событие 1: Ваня берет 1 белый и 1 черный кубик:
Количество способов взять 1 белый и 1 черный кубик: \[ C(10, 1) \times C(15, 1) = 10 \times 15 = 150 \]
Общий количество способов взять 2 кубика из 25 (10 белых + 15 черных): \[ C(25, 2) = \frac{25 \times 24}{2} = 300 \]
Вероятность этого события: \[ P(1 белый, 1 черный) = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} \]
Событие 2: Ваня берет 2 черных кубика:
Количество способов взять 2 черных: \[ C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2} = 105 \]
Вероятность этого события: \[ P(2 черных) = \frac{105}{300} = \frac{7}{20} \]
Теперь посмотрим, что делает Толя в нижнем ящике.
- Событие 1: Если Ваня положит 1 белый и 1 черный кубик, то Толя должен взять 2 белых кубика (тогда в верхнем ящике будет 11 белых и 14 черных). Вероятность того, что Толя возьмет 2 белых кубика из нижнего ящика (где 15 белых и 10 черных): \[ C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2} = 105 \]
Общая вероятность взять 2 кубика из 25: \[ P(2 белых) = \frac{105}{300} = \frac{7}{20} \]
- Событие 2: Если Ваня положит 2 черных кубика, Толя может взять 1 белый и 1 черный кубик (тогда в верхнем ящике будет 11 белых и 14 черных): Поскольку в нижнем ящике после обмена станет 14 белых и 9 черных: \[ P(1 белый, 1 черный) = \frac{C(15, 1) \times C(10, 1)}{C(25, 2)} = \frac{15 \times 10}{300} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} \]
Теперь складываем вероятности.
С общими вероятностями: \[ P(11 белых, 14 черных) = P(1 белый, 1 черный) \times P(2 белых) + P(2 черных) \times P(1 белый, 1 черный) \]
Подставляем значения: \[ P(11 белых, 14 черных) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{7}{20}\right) + \left(\frac{7}{20} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{40} + \frac{7}{40} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} \]
Таким образом, вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, равна \(\frac{7}{20}\).
