2. ABCD - ромб, АК=KD и АЕ-ЕВ. Выразите через векторы а = АЕ и Б = АК следующие векторы: а) AB b) DE c) DB [3] 3. Упростите выражение (MO + KD) - (ND + KO) [2] 4. Найдите…
2. ABCD - ромб, АК=KD и АЕ-ЕВ. Выразите через векторы а = АЕ и Б = АК следующие векторы: а) AB b) DE c) DB [3] 3. Упростите выражение (MO + KD) - (ND + KO) [2] 4. Найдите координаты вектора а = m + 37, где т(-4;8) и (2; 3). [2] а) 5. Известно, что [2] = 3, |Б| = 4, а угол между этими векторами равен 135°: Вычислите скалярное произведение векторов а и Б; [3] b) Найдите значение выражения (а + 26)(3a + b); 6. Координаты вершин параллелограмма ABCD равны: А(2;3), В(5;-3), C(-4;2). Найдите координаты четвертой вершины. 7. Решите задачу векторным методом C D [3] [3] Даны точки А(-3;3), B(2;-2), С(4;-4). Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой.
Конечно! Давайте по порядку разберем ваши вопросы.
Задача 2: Выразите через векторы а = АЕ и б = АК
Вектор AB: Мы знаем, что \( AB = AE + EB \). Используя обозначения векторов, запишем: \[ AB = a + (AK + KD) \] Здесь \( EB = АК + KD \), поскольку \( AK = KD \). Таким образом: \[ AB = a + b \]
Вектор DE: Поскольку \( DE = DC + CE \) и \( DC = KD \), то получаем: \[ DE = b + a \]
Вектор DB: Вектор DB можно выразить через AB и DE. Вектор DB можно записать как: \[ DB = AB - AD \] Однако без дополнительной информации о позиции D относительно других точек, мы можем предположить, что: \[ DB = b - a \]
Теперь у нас есть выражения для векторов:
- a) \( AB = a + b \)
- b) \( DE = a + b \)
- c) \( DB = b - a \)
Задача 3: Упростите выражение (MO + KD) - (ND + KO)
Просто соберем все векторы вместе: \[ (MO + KD) - (ND + KO) = MO + KD - ND - KO \]
Мы можем сгруппировать векторы, если они являются как бы "соседями" или находятся в одной плоскости.
Задача 4: Найдите координаты вектора а = m + 37
У нас есть точка \( м(-4;8) \) и \( (2;3) \), чтобы найти координаты вектора a, воспользуемся их разницей: \[ a = m + 37 = (-4; 8) + (2; 3) = (-4 + 2; 8 + 3) = (-2; 11) \]
Задача 5a: Вычислите скалярное произведение векторов а и б
Формула для скалярного произведения векторов: \[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \] Здесь \( |a| = 3, |b| = 4 \), угол между ними \( \theta = 135^\circ \): \[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Следовательно \[ a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2} \]
Задача 5b: Найдите значение выражения (а + 26)(3a + b)
Подставляем \( a \) и \( b \): \[ (a + 26)(3a + b) = (3 + 26)(3 \cdot 3 + 4) = 29 \cdot (9 + 4) = 29 \cdot 13 \] Это даст: \[ 29 \cdot 13 = 377 \]
Задача 6: Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма
Мы знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Если A, B и C заданы координатами:
- \( A(2;3) \)
- \( B(5;-3) \)
- \( C(-4;2) \)
Координаты D можно найти так: \[ D = A + C - B = (2 + -4 - 5; 3 + 2 + 3) = (-7; 8) \]
Задача 7: Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой
Для доказательства, что точки коллинеарны, можно использовать векторы: \[ AB = B - A = (2 - (-3); -2 - 3) = (5; -5) \] \[ AC = C - A = (4 - (-3); -4 - 3) = (7; -7) \] Если векторы \( AB \) и \( AC \) пропорциональны (они имеют одинаковый наклон), то точки A, B и C лежат на одной прямой.
\( AB \) и \( AC \) имеют одинаковые отношения, т.е. они кратны друг другу, следовательно, точки лежат на одной прямой.
Пишите, если у вас есть дополнительные вопросы!
