А) 5. Известно, что [2] = 3, |Б| = 4, а угол между этими векторами равен 135°: Вычислите скалярное произведение векторов а и Б; [3] b) Найдите значение выражения (а + 26)(3a + b);
Давайте разберемся с каждым пунктом по порядку.
a) Мы знаем следующее:
- Длина вектора \( \mathbf{A} \) равна 3 (так как \( |\mathbf{A}| = 3 \)),
- Длина вектора \( \mathbf{B} \) равна 4 (так как \( |\mathbf{B}| = 4 \)),
- Угол между векторами \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) равен 135°.
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) можно найти по формуле:
\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) \]
где \( \theta \) — угол между векторами. Подставим известные значения:
\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135°) \]
Значение \( \cos(135°) \) равно \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) (так как угол 135° находится во втором квадранте, где косинус отрицательный). Следовательно:
\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 3 \cdot 4 \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2} \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) равно \( -6\sqrt{2} \).
b) Чтобы найти значение выражения \( (a + 26)(3a + b) \), нужно будет распределить все члены:
Умножаем \( a \) на каждый член второго множителя: \[ a \cdot 3a + a \cdot b = 3a^2 + ab \]
Умножаем \( 26 \) на каждый член второго множителя: \[ 26 \cdot 3a + 26 \cdot b = 78a + 26b \]
Теперь объединяем все части вместе: \[ (a + 26)(3a + b) = 3a^2 + ab + 78a + 26b \]
Таким образом, итоговое значение выражения \( (a + 26)(3a + b) = 3a^2 + ab + 78a + 26b \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!
