В теннисном турнире всё игроки должны были сыграть друг с другом ровно 1 раз. Однако уже во время турнира трое игроков отказались от участия. Ма знаем что каждый из выбывших сыграл по две игры и что в соревновании было сыграно 50 игр. Сколько игроков стартовало в турнире?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Пусть n — это количество участников, которые стартовали в турнире. В турнире, где каждый игрок играет с каждым, общее количество игр определяется по формуле: \[ \frac{n(n-1)}{2} \] Это количество игр, которое должно было состояться.
Из условия задачи известно, что трое игроков отказались от участия. Это означает, что всего играли n - 3 игрока.
Каждый из троих выбывших игроков сыграл по 2 игры. Таким образом, общее количество игр, сыгранных этими игроками, равно \(3 \times 2 = 6\).
Общее количество игр, сыгранных в турнире, также составляет 50. Поэтому можно записать уравнение: \[ \frac{n(n-1)}{2} - 6 = 50 \]
Перепишем уравнение: \[ \frac{n(n-1)}{2} = 50 + 6 \] \[ \frac{n(n-1)}{2} = 56 \] Умножим обе части на 2: \[ n(n-1) = 112 \]
Теперь решим квадратное уравнение: \[ n^2 - n - 112 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -112\): \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 448}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{449}}{2} \]
Приблизительно \(\sqrt{449} \approx 21.12\), поэтому: \[ n \approx \frac{1 + 21.12}{2} \approx 11.06 \]
Поскольку количество игроков должно быть целым, пробуем \(n = 12\): \[ 12 \times 11 = 132 \quad \Rightarrow \quad \frac{132}{2} = 66 \] Убираем игры выбывших игроков: \[ 66 - 6 = 60 \quad \text{(больше 50)} \]
Проверим \(n = 11\): \[ 11 \times 10 = 110 \quad \Rightarrow \quad \frac{110}{2} = 55 \] Убираем 6: \[ 55 - 6 = 49 \quad \text{(меньше 50)} \]
Таким образом, \(n = 12\) подходит, поскольку оно соответствует всем условиям задачи.
В итоге, количество игроков, стартовавших в турнире, равно 12.
