В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для решения задачи сначала нужно понять, как найти расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности.

1. Находим полупериметр треугольника: Полупериметр \( p \) можно найти по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] где \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 6 \).

   Подставим значения: \[ p = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

2. Находим длины отрезков от вершин до точек касания: Расстояние от каждой вершины до ближайшей точки касания окружности можно найти следующим образом:

   • Для вершины, соответствующей стороне \( a \): \( d_a = p - a \)
   • Для вершины, соответствующей стороне \( b \): \( d_b = p - b \)
   • Для вершины, соответствующей стороне \( c \): \( d_c = p - c \)

   Подсчитаем каждое из расстояний:

   • \( d_a = p - a = 7.5 - 4 = 3.5 \)
   • \( d_b = p - b = 7.5 - 5 = 2.5 \)
   • \( d_c = p - c = 7.5 - 6 = 1.5 \)

3. Определим наименьшее расстояние: Теперь сравним полученные расстояния:

   • \( d_a = 3.5 \)
   • \( d_b = 2.5 \)
   • \( d_c = 1.5 \)

   Наименьшее расстояние — это \( d_c = 1.5 \).

Таким образом, наименьшее напряжение расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно \( 1.5 \).