3. Вычислите: sin (arccos2/7)+tg(arcctg1/3)+tg(arcsin1/2)

Давайте по шагам вычислим каждую из частей выражения \( \sin(\arccos(2/7)) + \tan(\text{arcctg}(1/3)) + \tan(\arcsin(1/2)) \).

1. Вычисление \( \sin(\arccos(2/7)) \):

   Пусть \( \theta = \arccos(2/7) \). Тогда \( \cos(\theta) = \frac{2}{7} \).

   Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1. \] Подставим \( \cos(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) + \left(\frac{2}{7}\right)^2 = 1. \] Это упрощается до: \[ \sin^2(\theta) + \frac{4}{49} = 1. \] Следовательно: \[ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49}{49} - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}. \] Таким образом: \[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}. \]

2. Вычисление \( \tan(\text{arcctg}(1/3)) \):

   Пусть \( \phi = \text{arcctg}(1/3) \). Тогда \( \cot(\phi) = \frac{1}{3} \).

   Таким образом: \[ \tan(\phi) = \frac{1}{\cot(\phi)} = 3. \]

3. Вычисление \( \tan(\arcsin(1/2)) \):

   Пусть \( \psi = \arcsin(1/2) \). Тогда \( \sin(\psi) = \frac{1}{2} \).

   Мы знаем, что \( \psi = \frac{\pi}{6} \), так как \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \).

   Используем известное значение: \[ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Теперь мы можем объединить все результаты:

\[ \sin(\arccos(2/7)) + \tan(\text{arcctg}(1/3)) + \tan(\arcsin(1/2) = \frac{3\sqrt{5}}{7} + 3 + \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{3\sqrt{5}}{7} + 3 + \frac{1}{\sqrt{3}}. \]

Если нужно, можно упростить это выражение, но в целом это и есть окончательный результат.