На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 8 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 23 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Question 1

Задача Задача №1911587

А

Аноним

18 октября 2024 05:05 · публичный вопрос

А

Аноним 18 октября 2024 05:05

На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 8 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 23 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Для решения задачи начнём с обозначения количества задач, решённых каждым из участников:

Обозначим количество задач, решённых Пашей, как \( P \).
Тогда, согласно условию, Мотя решил \( P + 8 \) задач.
Обозначим количество задач, решённых Федей, как \( F \).
Катя решила \( F + 5 \) задач.

Теперь у нас есть следующие выражения для задач, решённых каждым участником:

Паша: \( P \)
Мотя: \( P + 8 \)
Федя: \( F \)
Катя: \( F + 5 \)

Согласно условию, сумма двух лучших работ составляет 23 задачи. Предположительно, это могут быть две из четырёх работ, и нам нужно выяснить, какие именно условия это удовлетворяют.

Для решения начнём с перечисления возможных пар задач:

Если Мотя и Катя - лучшие: \[ M + K = (P + 8) + (F + 5) = P + F + 13 \] Приравниваем к 23: \[ P + F + 13 = 23 \implies P + F = 10 \]
Если Мотя и Федя - лучшие: \[ M + F = (P + 8) + F = P + F + 8 \] Приравниваем к 23: \[ P + F + 8 = 23 \implies P + F = 15 \]
Если Катя и Паша - лучшие: \[ K + P = (F + 5) + P \] Приравниваем к 23: \[ (F + 5) + P = 23 \implies F + P = 18 \]
Если Катя и Федя - лучшие: \[ K + F = (F + 5) + F = 2F + 5 \] Приравниваем к 23: \[ 2F + 5 = 23 \implies 2F = 18 \implies F = 9 \]

Теперь найдём все подстановки:

Если \( P + F = 10 \): \[ F = 9 \implies P = 1 \quad (не годится, так как Федя больше Паши на 5) \]
Если \( P + F = 15 \): Przy \( P = 7 \) и \( F = 8 \):
- Тогда Катя: \( 8 + 5 = 13 \)
- Тогда Мотя: \( 7 + 8 = 15 \)

Все значения разные: \( P = 7, M = 15, F = 8, K = 13 \).

Проверим: \[ 7 + 15 + 8 + 13 = 43 \]

Если \( F + P = 18 \): \[ F = 9 \implies P = 9 \quad (не годится) \]

Итак, подходящие варианты решения:

43 задач было решено во всех четырёх работах.

Таким образом, единственный вариант: 43.

Question 2

На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 8 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 23 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Answer

Для решения задачи начнём с обозначения количества задач, решённых каждым из участников: - Обозначим количество задач, решённых Пашей, как \( P \). - Тогда, согласно условию, Мотя решил \( P + 8 \) задач. - Обозначим количество задач, решённых Федей, как \( F \). - Катя решила \( F + 5 \) задач. Теперь у нас есть следующие выражения для задач, решённых каждым участником: - Паша: \( P \) - Мотя: \( P + 8 \) - Федя: \( F \) - Катя: \( F + 5 \) Согласно условию, сумма двух лучших работ составляет 23 задачи. Предположительно, это могут быть две из четырёх работ, и нам нужно выяснить, какие именно условия это удовлетворяют. Для решения начнём с перечисления возможных пар задач: 1. Если Мотя и Катя - лучшие: \[ M + K = (P + 8) + (F + 5) = P + F + 13 \] Приравниваем к 23: \[ P + F + 13 = 23 \implies P + F = 10 \] 2. Если Мотя и Федя - лучшие: \[ M + F = (P + 8) + F = P + F + 8 \] Приравниваем к 23: \[ P + F + 8 = 23 \implies P + F = 15 \] 3. Если Катя и Паша - лучшие: \[ K + P = (F + 5) + P \] Приравниваем к 23: \[ (F + 5) + P = 23 \implies F + P = 18 \] 4. Если Катя и Федя - лучшие: \[ K + F = (F + 5) + F = 2F + 5 \] Приравниваем к 23: \[ 2F + 5 = 23 \implies 2F = 18 \implies F = 9 \] Теперь найдём все подстановки: 1. Если \( P + F = 10 \): \[ F = 9 \implies P = 1 \quad (не годится, так как Федя больше Паши на 5) \] 2. Если \( P + F = 15 \): Przy \( P = 7 \) и \( F = 8 \): - Тогда Катя: \( 8 + 5 = 13 \) - Тогда Мотя: \( 7 + 8 = 15 \) Все значения разные: \( P = 7, M = 15, F = 8, K = 13 \). Проверим: \[ 7 + 15 + 8 + 13 = 43 \] 3. Если \( F + P = 18 \): \[ F = 9 \implies P = 9 \quad (не годится) \] Итак, подходящие варианты решения: - 43 задач было решено во всех четырёх работах. Таким образом, единственный вариант: **43**.