Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим номера шкафчиков от 73 до 89 и выясним, как они реагируют на числа натурального ряда.

Каждый шкафчик подпрыгивает, если его номер делится на называемое число. Значит, шкафчик с номером \( n \) подпрыгнет на каждом числе, которое является делителем \( n \).

1. Изучим шкафчики от 73 до 89:

   • 73: делится на 1, 73
   • 74: делится на 1, 2, 37, 74
   • 75: делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75
   • 76: делится на 1, 2, 4, 19, 38, 76
   • 77: делится на 1, 7, 11, 77
   • 78: делится на 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
   • 79: делится на 1, 79
   • 80: делится на 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
   • 81: делится на 1, 3, 9, 27, 81
   • 82: делится на 1, 2, 41, 82
   • 83: делится на 1, 83
   • 84: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
   • 85: делится на 1, 5, 17, 85
   • 86: делится на 1, 2, 43, 86
   • 87: делится на 1, 3, 29, 87
   • 88: делится на 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
   • 89: делится на 1, 89

2. Теперь посчитаем количество делителей для каждого шкафчика:

   • 73: 2
   • 74: 4
   • 75: 6
   • 76: 6
   • 77: 4
   • 78: 8
   • 79: 2
   • 80: 10
   • 81: 5
   • 82: 4
   • 83: 2
   • 84: 12
   • 85: 4
   • 86: 4
   • 87: 4
   • 88: 8
   • 89: 2

3. Число, на которое ни один шкафчик не отреагировал: Это число должно быть больше 89, поскольку все числа от 1 до 89 имеют хотя бы один делитель в диапазоне номеров шкафчиков. Следовательно, "безобразия прекратились" после произнесения 90, так как ни один шкафчик с номерами от 73 до 89 не делится на 90.

4. Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: Наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик номер 84, так как у него 12 делителей.

Ответы:

• Число, после которого ни один шкафчик не отреагировал: 90.
• Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее количество раз: 84.