5. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, высота - 6 дм, а средняя линия 28 дм. Найдите длины оснований трапеции.

Чтобы найти длины оснований равнобедренной трапеции с острым углом 45°, высотой 6 дм и средней линией 28 дм, воспользуемся следующими шагами.

1. Определим обозначения: Пусть основания трапеции равны \(a\) (большее основание) и \(b\) (меньшее основание). Средняя линия трапеции (которая равна 28 дм) находится по формуле: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Подставляем значение средней линии: \[ 28 = \frac{a + b}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ a + b = 56 \quad (1) \]

2. Анализ углов и высоты: В равнобедренной трапеции с острым углом 45° высота образует прямоугольный треугольник. Обозначим боковую сторону трапеции как \(c\). В этом треугольнике высота будет равна 6 дм, и так как угол равен 45°, значит, боковая сторона также равна 6 дм.

3. Найдём длину боковой стороны, используя сторону треугольника: Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, где высота равна 6 дм, и угол равен 45°, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка, который от основания \(b\) до проекции точки на основание \(a\): \[ a - b = c\tan(45°) = c = 6 \quad (2) \] Тут мы используем, что \(\tan(45°) = 1\).

4. Теперь, подставим выражение (2) в (1): Добавим \(b\) к уравнению (2): \[ a = b + 6 \quad (3) \]

5. Подставим (3) в (1): Подставим \(a\) из уравнения (3) в (1): \[ (b + 6) + b = 56 \] Упростим уравнение: \[ 2b + 6 = 56 \] Выразим \(b\): \[ 2b = 56 - 6 = 50 \] \[ b = 25 \text{ дм} \]

6. Найдем \(a\): Теперь найдём \(a\) с помощью уравнения (3): \[ a = b + 6 = 25 + 6 = 31 \text{ дм} \]

Таким образом, основания равнобедренной трапеции равны:

• Большое основание \(a = 31\) дм.
• Меньшее основание \(b = 25\) дм.

Ответ: Длины оснований трапеции: 31 дм и 25 дм.