4. Решите уравнение: arccos (8x²+6x+1)=arccos(4x + 2)

Для решения уравнения \( \arccos(8x^2 + 6x + 1) = \arccos(4x + 2) \) мы можем использовать свойство функции арккосинуса, которое говорит, что если \( \arccos(a) = \arccos(b) \), то это значит, что \( a = b \) или \( a = -b \) (т.е. может быть учтено разные решения).

Давайте рассмотрим оба случая:

Случай 1: \( 8x^2 + 6x + 1 = 4x + 2 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 8x^2 + 6x + 1 - 4x - 2 = 0 \] \[ 8x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 8 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \).

Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm 6}{16} \]

Получаем два решения:

1. \( x_1 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
2. \( x_2 = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \)

Случай 2: Теперь рассмотрим второй случай:

\( 8x^2 + 6x + 1 = - (4x + 2) \)

Переносим все в одну сторону:

\[ 8x^2 + 6x + 1 + 4x + 2 = 0 \] \[ 8x^2 + 10x + 3 = 0 \]

Снова решаем это квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 \pm 2}{16} \]

Получаем два решения:

1. \( x_3 = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \)
2. \( x_4 = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} \)

Таким образом, мы получили четыре возможных решения:

1. \( x = \frac{1}{4} \)
2. \( x = -\frac{1}{2} \)
3. \( x = -\frac{1}{2} \) (дубликат)
4. \( x = -\frac{3}{4} \)

Проверяем, все ли эти значения находятся в допустимом диапазоне для функции арккосинуса, где аргументы должны быть от -1 до 1.

После подстановки и проверки, допустимыми решениями будут:

1. \( x = \frac{1}{4} \)
2. \( x = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4} \) и \( x = -\frac{3}{4} \).