в треугольнике со сторонами 4,5 и 8 вписанная окружность.Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы найти наименьшее расстояние от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности, сначала нам нужно рассчитать радиус вписанной окружности и расстояния от вершин до этих точек касания.

1. Найдем полупериметр треугольника. Длины сторон треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Полупериметр \( p \) вычисляется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]

2. Найдем радиус вписанной окружности \( r \). Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8.5(8.5-4)(8.5-5)(8.5-8)} \] \[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \] \[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \approx \sqrt{67.875} \approx 8.23 \]

   Теперь находим радиус: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{8.23}{8.5} \approx 0.97 \]

3. Найдем расстояния от каждой вершины до точки касания и определим наименьшее. Расстояния могут быть найдены по формуле \( d_a = r \cdot \frac{p-a}{p} \) (для стороны \( a \) и аналогично для \( b \) и \( c \)):

   • Для \( a = 4 \): \[ d_a = r \cdot \frac{p-a}{p} = 0.97 \cdot \frac{8.5-4}{8.5} \approx 0.97 \cdot \frac{4.5}{8.5} \approx 0.52 \]
   • Для \( b = 5 \): \[ d_b = r \cdot \frac{p-b}{p} = 0.97 \cdot \frac{8.5-5}{8.5} \approx 0.97 \cdot \frac{3.5}{8.5} \approx 0.39 \]
   • Для \( c = 8 \): \[ d_c = r \cdot \frac{p-c}{p} = 0.97 \cdot \frac{8.5-8}{8.5} \approx 0.97 \cdot \frac{0.5}{8.5} \approx 0.06 \]

4. Вывод: наименьшее расстояние. Сравнивая \( d_a \), \( d_b \) и \( d_c \), мы видим, что наименьшее расстояние составляет: \[ \min(d_a, d_b, d_c) \approx \min(0.52, 0.39, 0.06) = 0.06 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности составляет примерно 0.06.