На сторонах CD и AD квадрата ABCD отмечены точки К и L соответственно. Оказалось, что BK = 2KL, /BKL = 90°, BL = 10. Найдите сторону квадрата.
Решим задачу о квадрате ABCD со сторонами CD и AD, на которых отмечены точки K и L соответственно.
Обозначим сторону квадрата ABCD как \( a \). Так как ABCD — квадрат, все стороны равны.
У нас есть прямоугольный треугольник BKL, где угол BKL равен 90°. Соотношение между сторонами треугольника дает: \[ BK = 2KL \] Обозначим \( KL = x \). Тогда, \[ BK = 2x \]
Используя теорему Пифагора в треугольнике BKL, имеем: \[ BL^2 = BK^2 + KL^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = (2x)^2 + x^2 \] Это упростится до: \[ 100 = 4x^2 + x^2 \] \[ 100 = 5x^2 \] \[ x^2 = 20 \] \[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Теперь подставим \( x \) обратно в выражение для \( BK \): \[ BK = 2KL = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \]
В треугольнике BKL у нас \( KL \) и \( BK \). Зная, что точка K лежит на стороне CD, а точка L — на стороне AD, следует, что длины отрезков KL и BL можно выразить через сторону квадрата \( a \). При этом, \( BK \) уже находится в пределах квадрата ABCD, а его длина не может превышать диагональ квадрата.
Используя координаты и отношения, приравниваем длины сторон:
Мы знаем, что \( BK \) должно быть меньше либо равно длине стороны квадрата: \[ BK = 4\sqrt{5} \leq a \]
Поскольку длина квадрата a может равняться: \[ a = \sqrt{100} \implies a = 10 \]
Таким образом, сторона квадрата ABCD равна 10.
Ответ: Сторона квадрата ABCD равна 10.
