4. Решите уравнение: arccos (8x²+6x+1)=arccos(4x + 2)
Чтобы решить уравнение \( \arccos(8x^2 + 6x + 1) = \arccos(4x + 2) \), следует учесть, что если \( \arccos(a) = \arccos(b) \), то это подразумевает, что \( a = b \) или \( a = -b \). В данном случае:
- Применим первое условие:
\[ 8x^2 + 6x + 1 = 4x + 2. \]
Приведем это уравнение к стандартному виду:
\[ 8x^2 + 6x + 1 - 4x - 2 = 0 \implies 8x^2 + 2x - 1 = 0. \]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 8 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{16} = \frac{-2 \pm 6}{16}. \]
Теперь найдем два возможных значения:
\[ x_1 = \frac{-2 + 6}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \]
\[ x_2 = \frac{-2 - 6}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}. \]
- Теперь рассмотрим второе условие \( 8x^2 + 6x + 1 = -(4x + 2) \):
\[ 8x^2 + 6x + 1 + 4x + 2 = 0 \implies 8x^2 + 10x + 3 = 0. \]
Снова используем формулу для решения квадратного уравнения с \( a = 8 \), \( b = 10 \), \( c = 3 \):
\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 96}}{16} = \frac{-10 \pm \sqrt{4}}{16} = \frac{-10 \pm 2}{16}. \]
Найдем два возможных значения:
\[ x_3 = \frac{-10 + 2}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}, \]
\[ x_4 = \frac{-10 - 2}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}. \]
Теперь у нас есть 4 возможных решения: \( x = \frac{1}{4} \), \( x = -\frac{1}{2} \), и \( x = -\frac{3}{4} \).
Для окончательной проверки, необходимо убедиться, что все значения находятся в области допустимых значений для функции \( \arccos \). Для того чтобы аргументы \( 8x^2 + 6x + 1 \) и \( 4x + 2 \) были в диапазоне от -1 до 1, нужно проверить каждое из найденных значений.
После проверки, допустимые решения будут:
\[ x = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x = -\frac{3}{4}. \]
Таким образом, ответ: \( x = \frac{1}{4} \) и \( x = -\frac{3}{4} \).
