Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Для решения этой задачи нужно разобраться с тем, как шкафчики реагируют на произносимые числа.
Шкафчики имеют номера от 73 до 89. Это значит, что у нас есть 17 шкафчиков и их номера: 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89.
Когда Барабашка произносит число \( n \), шкафчик с номером \( k \) подпрыгивает, если \( k \) делится на \( n \) (то есть \( k \mod n = 0 \)).
Мы ищем самое первое число \( n \), при котором ни один шкафчик не подпрыгнул. Это произойдет, когда для всех шкафчиков \( k \) в диапазоне от 73 до 89 перестанет выполняться условие \( k \mod n = 0 \).
Следовательно, нам нужно найти наименьшее \( n \), которое больше 89, так как все числа от 1 до 89 будут делителями для хотя бы одного из шкафчиков в этом диапазоне. Первое число больше 89 — это 90. При этом 90 не делится на любые из номеров шкафчиков (73, 74, 75, ..., 89).
Теперь давайте определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее число раз. Шкафчиком с номером \( k \) будет подпрыгивать каждый раз, когда \( n \) делит \( k \). Число скачков для каждого шкафчика можно определить, считывая все числа от 1 до 89, которые делят номер шкафчика \( k \).
Для каждого шкафчика от 73 до 89 найдем количество делителей:
- 73: 1, 73 (2 делителя)
- 74: 1, 2, 37, 74 (4 делителя)
- 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75 (6 делителей)
- 76: 1, 2, 4, 19, 38, 76 (6 делителей)
- 77: 1, 7, 11, 77 (4 делителя)
- 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 (8 делителей)
- 79: 1, 79 (2 делителя)
- 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 (10 делителей)
- 81: 1, 3, 9, 27, 81 (5 делителей)
- 82: 1, 2, 41, 82 (4 делителя)
- 83: 1, 83 (2 делителя)
- 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 (12 делителей)
- 85: 1, 5, 17, 85 (4 делителя)
- 86: 1, 2, 43, 86 (4 делителя)
- 87: 1, 3, 29, 87 (4 делителя)
- 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 (8 делителей)
- 89: 1, 89 (2 делителя)
Как видно, шкафчик 84 имеет наибольшее количество делителей — 12.
Таким образом,ответы следующие:
- Первое число, не вызвавшее реакции шкафчиков, — это 90.
- Шкафчик с номером 84 подпрыгнул наибольшее количество раз.
