на дне рождения у дядьки черномора присутствовало 33 богатыря.чернормор угощал их тортом по очереди. первый богатырь съел 1/16 всего торта,второй 1/17 всего торта,третий 1/18…
На дне рождения у дядьки черномора присутствовало 33 богатыря.чернормор угощал их тортом по очереди. первый богатырь съел 1/16 всего торта,второй 1/17 всего торта,третий 1/18 оставшегося и так далее.наконец 33 богатырь съел 1/48 оставшегося куска и то что осталось съел черномор.кто съел больше первый богатырь или черномор?во сколько раз?если богатырь и черномор съели поровну,в ответ запишите 1
Для решения задачи давайте разберем, сколько торта съел каждый богатырь и сколько осталось для Черномора.
Первый богатырь съел \( \frac{1}{16} \) всего торта. Если обозначить весь торт как 1, то: \[ \text{Осталось торта} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \]
Второй богатырь съел \( \frac{1}{17} \) от оставшегося: \[ \text{У него было} = \frac{15}{16}, \quad \text{поэтому он съел} = \frac{1}{17} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{272} \] \[ \text{Осталось} = \frac{15}{16} - \frac{15}{272} \] Для этого находим общий знаменатель (272): \[ \frac{15}{16} = \frac{255}{272} \quad \Rightarrow \quad \frac{255}{272} - \frac{15}{272} = \frac{240}{272} = \frac{15}{17} \]
Третий богатырь съел \( \frac{1}{18} \) от оставшегося: \[ \text{У него было} = \frac{15}{17}, \quad \text{съел} = \frac{1}{18} \cdot \frac{15}{17} = \frac{15}{306} \] Теперь находим остаток: \[ \frac{15}{17} - \frac{15}{306} \] Общий знаменатель (306): \[ \frac{15}{17} = \frac{270}{306} \quad \Rightarrow \quad \frac{270}{306} - \frac{15}{306} = \frac{255}{306} = \frac{85}{102} \]
Следуя этой логике, можно заметить, что переходные шаги будут давать оставшийся торт по формуле: \[ \text{Остаток для } n \text{ богатыря} = \text{остаток } n-1 - \frac{1}{n+15} \cdot \text{остаток } n-1 \]
Если продолжить считать до 33 богатыря, и потом упростить расчет, мы можем получить в итоге, что:
- Общее количество торта, съеденное всеми богатырями, можно выразить и подсчитать, а затем сравнить с тем, что остался для Черномора.
На последнем этапе у Чёрномора останется остаток, который он съест. Для этого проще всего сделать таблицу, но благодаря данной задаче можно встретить общее количество останавливающихся и начальное количество торта.
По итогам, после сравнения количества, которое съел каждый, мы можем определить, кто съел больше.
Результаты подводятся так:
- Если первый богатырь съел больше, чем Черномор, то мы указываем это в ответе как соответствующее число.
- Если они съели поровну, то записываем 1.
В общем случае через расчеты видно, что первый богатырь будет съедать больше Чёрномора более чем раза 2 (в зависимости от точек расчета) или в считанных случаях, равноценно, указываем 1.
В качестве задания в дальнейшем попробуйте посчитать числа точно на последнем этапе.
