Рабочие прокладывают тоннель длинной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров . Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра .…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество метров, на которое рабочие увеличивают норму прокладывания тоннеля каждый день, как \( x \).

1. Известно, что в первый день рабочие проложили 3 метра.
2. Во второй день рабочие проложили \( 3 + x \) метров.
3. В третий день рабочие проложили \( 3 + 2x \) метров.

Таким образом, в \( n \)-й день рабочие проложат \( 3 + (n-1)x \) метров.

Итак, за 10 дней общий проложенный тоннель будет равен:

\[ 3 + (3 + x) + (3 + 2x) + \ldots + (3 + 9x) \]

Это можно выразить как:

\[ 3 \times 10 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 9)x \]

Сумма первых 9 натуральных чисел (от 0 до 9) равна:

\[ 0 + 1 + 2 + \ldots + 9 = \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 45 \]

Таким образом, мы можем записать общее количество проложенного тоннеля:

\[ 30 + 45x = 500 \]

Теперь решим это уравнение для \( x \):

\[ 45x = 500 - 30 \] \[ 45x = 470 \] \[ x = \frac{470}{45} \approx 10.44 \text{ метров} \]

Теперь, чтобы найти, сколько метров проложили рабочие в последний день, подставим \( x \) в формулу для 10-го дня:

\[ 3 + 9x = 3 + 9 \cdot \frac{470}{45} \] \[ = 3 + \frac{4230}{45} \] \[ = 3 + 94 = 97 \text{ метров} \]

Следовательно, в последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.