На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки K и L соответственно.Оказалось что AK=2KL,углAKL=90°,AL=10.Найдите сторону квадрата.
Для решения задачи возьмём квадрат ABCD со стороной \( a \). Обозначим точку K на стороне BC и точку L на стороне CD. Дано, что \( AK = 2KL \), \( \angle AKL = 90° \), и \( AL = 10 \).
Применим координатную систему. Пусть:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, a) \)
- Точка \( K \) имеет координаты \( (0, y_K) \), где \( 0 \leq y_K \leq a \).
- Точка \( L \) имеет координаты \( (x_L, 0) \), где \( 0 \leq x_L \leq a \).
Сначала найдем расстояние \( AL \): \[ AL = \sqrt{(x_L - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{x_L^2 + a^2} \] Из условия \( AL = 10 \) имеем: \[ \sqrt{x_L^2 + a^2} = 10 \] Квадратируем обе стороны: \[ x_L^2 + a^2 = 100 \quad (1) \]
Теперь определим расстояние \( AK \): \[ AK = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y_K - a)^2} = |y_K - a| \]
Найдём расстояние \( KL \): \[ KL = \sqrt{(0 - x_L)^2 + (y_K - 0)^2} = \sqrt{x_L^2 + y_K^2} \] Из условия \( AK = 2KL \) имеем: \[ |y_K - a| = 2\sqrt{x_L^2 + y_K^2} \quad (2) \]
Теперь будем использовать системы уравнений. Из (1): \[ y_K^2 = 100 - x_L^2 \]
Подставим \( y_K \) из (1) в (2). Сначала упростим \( KL \): \[ KL = \sqrt{x_L^2 + y_K^2} = \sqrt{x_L^2 + (100 - x_L^2)} = \sqrt{100} = 10 \] Значит, \( 2KL = 20 \).
Теперь из уравнения (2): \[ |y_K - a| = 20 \quad (3) \]
Решим (3). Пусть \( y_K - a = 20 \) или \( a - y_K = 20 \). Рассмотрим оба случая:
- Случай 1: \( y_K = a + 20 \) (но это невозможно, поскольку \( y_K \) не может превышать \( a \))
- Случай 2: \( a - y_K = 20\) или \( y_K = a - 20 \)
Подставим \( y_K \) в (1): \[ (a - 20)^2 + x_L^2 = 100 \] Раскроем скобки: \[ a^2 - 40a + 400 + x_L^2 = 100 \] Упростим: \[ a^2 - 40a + x_L^2 + 300 = 0 \quad (4) \]
Подставим \( x_L^2 \) из (1): \[ x_L^2 = 100 - a^2 \] Подставляем в (4): \[ a^2 - 40a + (100 - a^2) + 300 = 0 \] Упростим: \[ -40a + 400 = 0 \] Отсюда: \[ a = 10 \]
Таким образом, сторона квадрата равна \( \boxed{40} \).
