в треугольник со сторонами 4,5 и 6 вписана окружность.петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…
В треугольник со сторонами 4,5 и 6 вписана окружность.петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.чему равно наименьшее из этих расстояний?
Чтобы решить задачу, сначала найдем площадь треугольника с заданными сторонами и его полупериметр.
Стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 6 \).
Вычислим полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = 7.5 \]
Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{7.5(7.5 - 4)(7.5 - 5)(7.5 - 6)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} \]
Вычислим поэтапно:
- \( 7.5 - 4 = 3.5 \)
- \( 7.5 - 5 = 2.5 \)
- \( 7.5 - 6 = 1.5 \)
Теперь перемножим: \[ 7.5 \cdot 3.5 = 26.25, \] \[ 26.25 \cdot 2.5 = 65.625, \] \[ 65.625 \cdot 1.5 = 98.4375. \]
Теперь находим корень: \[ S = \sqrt{98.4375} \approx 9.92. \]
Вычислим радиус вписанной окружности: Формула для радиуса \( r \): \[ r = \frac{S}{p}. \] Подставляем значения: \[ r = \frac{9.92}{7.5} \approx 1.32. \]
Теперь найдем расстояния от вершин до точек касания: Например, расстояние от вершины \( A \) (соседние стороны \( b \) и \( c \)): \[ d_a = p - a = 7.5 - 4 = 3.5, \] расстояние от вершины \( B \): \[ d_b = p - b = 7.5 - 5 = 2.5, \] и расстояние от вершины \( C \): \[ d_c = p - c = 7.5 - 6 = 1.5. \]
Наименьшее из этих расстояний: Теперь сравним найденные расстояния: \[ d_a = 3.5, \quad d_b = 2.5, \quad d_c = 1.5. \]
Наименьшее из них: \[ \min(d_a, d_b, d_c) = 1.5. \]
Таким образом, расстояние от ближайшей вершины треугольника до касательной точки вписанной окружности составляет 1.5.
