На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя на 8 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в…

Давайте разберемся с условиями задачи шаг за шагом.

Обозначим количество задач, решённых каждым из участников:

• \( K \) — задачи, решенные Катей,
• \( M \) — задачи, решенные Мотей,
• \( F \) — задачи, решенные Федей,
• \( P \) — задачи, решенные Пашей.

Согласно условию задачи:

1. Катя решила на 5 задач больше Феди:
   \( K = F + 5 \)
2. Мотя решил на 8 задач больше Паши:
   \( M = P + 8 \)
3. Сумма задач в двух лучших работах составляет 23 задачи.

Так как все решили разное количество задач, нам нужно найти все подходящие значения для \( K, M, F, P \).

Подставим выражения для \( K \) и \( M \) в уравнение суммы: \[ K + M = 23 \] или \[ (F + 5) + (P + 8) = 23 \]

Упростим уравнение: \[ F + P + 13 = 23 \] \[ F + P = 10 \]

Теперь мы знаем, что \( F + P = 10 \). Поскольку \( K \) и \( M \) зависят от \( F \) и \( P \), мы можем подставить \( P \) из уравнения \( P = 10 - F \) в выражения для \( K \) и \( M \):

1. \( K = F + 5 \)
2. \( M = (10 - F) + 8 = 18 - F \)

Теперь мы имеем:

• \( K = F + 5 \)
• \( M = 18 - F \)

При этом все числа \( K, M, F, P \) должны быть различными и положительными. Условия задачи приводят к следующему набору неравенств:

• \( F + 5 \) должно быть больше, чем \( 10 - F \) (чтобы \( K \) был больше \( P \)),
• \( F + 5 > 10 - F \) преобразуется в \( 2F > 5 \), т.е. \( F > 2.5 \),
• И, отсюда \( F \) должно быть не меньше 3 (так как количество задач - это целые числа).

Теперь проверим возможные значения \( F \):

1. Если \( F = 3 \):

   • \( P = 10 - 3 = 7 \)
   • Тогда \( K = 3 + 5 = 8 \) и \( M = 18 - 3 = 15 \).

2. Если \( F = 4 \):

   • \( P = 10 - 4 = 6 \)
   • Тогда \( K = 4 + 5 = 9 \) и \( M = 18 - 4 = 14 \).

3. Если \( F = 5 \):

   • \( P = 10 - 5 = 5 \)
   • Но \( P \) не может равняться \( F \) (так как количество задач различно).

4. Если \( F = 6 \):

   • \( P = 10 - 6 = 4 \)
   • Тогда \( K = 6 + 5 = 11 \) и \( M = 18 - 6 = 12 \).

Таким образом, допустимые наборы задач:

1. \( F = 3, P = 7, K = 8, M = 15 \) — все разные. Сумма: \( 3 + 7 + 8 + 15 = 33 \).

2. \( F = 4, P = 6, K = 9, M = 14 \) — все разные. Сумма: \( 4 + 6 + 9 + 14 = 33 \).

3. \( F = 6, P = 4, K = 11, M = 12 \) — все разные. Сумма: \( 6 + 4 + 11 + 12 = 33 \).

Таким образом, количество задач, решённых всеми четырьмя участниками, в любом случае оказывается равным 33. Это единственный подходящий вариант.

Ответ: 33 задачи.