Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, какие шкафчики нас интересуют. У нас есть шкафчики с номерами от 98 до 111.

Шкафчик подпрыгивает, если его номер делится на каждое произнесённое Барабашкой число. Основная задача состоит в том, чтобы понять, при каком числе больше ни один шкафчик не подпрыгнет.

Шкафчики в диапазоне от 98 до 111 включительно:

• 98
• 99
• 100
• 101
• 102
• 103
• 104
• 105
• 106
• 107
• 108
• 109
• 110
• 111

Теперь важно понять, какое число будет самым большим, которое не делит ни один из этих шкафчиков. Для этого нам необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) всех чисел от 98 до 111, так как именно оно будет тем самым числом, после которого ни один шкафчик не будет реагировать.

Однако высчитывать НОК всех этих чисел непосредственно может быть затруднительно, поэтому лучше всего обратить внимание на наибольший номер шкафа – это 111. Если Барабашка произнесёт число больше 111, ни один из шкафчиков (>98 и <112) не сможет подпрыгнуть, так как ни один из них больше 111.

Поэтому число, после произнесения которого ни один шкафчик не подпрыгнет, будет равно 112 (первое число больше 111).

Теперь мы найдём шкафчик, который подпрыгнул наибольшее число раз. Чтобы это выяснить, нужно определить, сколько раз каждая стенка шкафа будет реагировать на числа от 1 до 111.

Если шкафчик номер 98:

• Подпрыгивает на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (итого 6 раз)

Для 99:

• Подпрыгивает на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (итого 6 раз)

Для 100:

• Подпрыгивает на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (итого 9 раз)

Для 101:

• Подпрыгивает на 1, 101 (итого 2 раза)

Для 102:

• Подпрыгивает на 1, 2, 3, 6, 17, 51, 102 (итого 7 раз)

Для 103:

• Подпрыгивает на 1, 103 (итого 2 раза)

Для 104:

• Подпрыгивает на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (итого 8 раз)

Для 105:

• Подпрыгивает на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (итого 8 раз)

Для 106:

• Подпрыгивает на 1, 2, 53, 106 (итого 4 раза)

Для 107:

• Подпрыгивает на 1, 107 (итого 2 раза)

Для 108:

• Подпрыгивает на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (итого 12 раз)

Для 109:

• Подпрыгивает на 1, 109 (итого 2 раза)

Для 110:

• Подпрыгивает на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (итого 8 раз)

Для 111:

• Подпрыгивает на 1, 3, 37, 111 (итого 4 раза)

Таким образом, шкафчик с номером 108 подпрыгнул наибольшее количество раз - 12 раз.

В итоге:

• Число, при котором ни один шкафчик не подпрыгнет: 112.
• Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее число раз: 108.