В кругу сидели 16 болельщиков команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты…
В кругу сидели 16 болельщиков команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа», или «вы с моим соседом справа болеете за разные команды». Оказалось, что ровно половина болельщиков сказала первую фразу и ровно половина вторую. При этом каждый говорил правду, если обращался к своему единомышленнику (болеющему за ту же команду), и лгал, если обращался к фанату другой команды. Какое максимальное количество болельщиков «Шайбы» могло быть?
Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с тем, что происходит в кругу болельщиков. У нас есть 16 болельщиков, и каждый из них либо за команду «Шайба», либо за команду «Зубило». Каждый из болельщиков говорит своему соседу слева одну из двух фраз, и в итоге ровно половина говорит первую фразу (то есть 8 болельщиков) и ровно половина говорит вторую фразу (тоже 8 болельщиков).
Первое, что стоит заметить, это то, что если болельщик говорит правду, то он говорит её своему союзнику (то есть болельщику, поддерживающему ту же команду). Если он говорит ложь, это значит, что он обращается к человеку, поддерживающему другую команду.
Пусть N — количество болельщиков команды «Шайба», а (16 - N) — количество болельщиков команды «Зубило».
Разделим болельщиков на две группы: те, кто говорит первую фразу, и те, кто говорит вторую:
Для тех, кто говорит первую фразу:
- Если болельщик «Шайбы» говорит «вы болеете за ту же команду, что и мой сосед справа», это правда, если и его сосед справа тоже поддерживает «Шайбу».
- Если болельщик «Зубило» говорит ту же фразу, то это ложь, потому что соседом справа будет болельщик «Шайбы».
Для тех, кто говорит вторую фразу:
- Если болельщик «Шайбы» говорит «вы болеете за разные команды», это ложь, если сосед справа поддерживает «Шайбу», и правда в противном случае.
- Если болельщик «Зубило» говорит, что «вы болеете за разные команды», это правда, если сосед справа поддерживает «Шайбу», и ложь в противном случае.
Теперь, учитывая, что ровно половина болельщиков говорит первую и ровно половина — вторую фразу, и учитывая, что при этом каждый говорит правду только своему единомышленнику, можно рассмотреть ситуацию, когда количество болельщиков «Шайбы» и «Зубило» распределено таким образом, чтобы максимально увеличить количество «Шайбы».
Допустим, что N — максимальное количество болельщиков команды «Шайба». Это значит, что (16 - N) — число болельщиков команды «Зубило». Для равновесия, нам нужно, чтобы 8 болельщиков говорили первую фразу и 8 — вторую.
Если рассмотреть пример, в котором 12 болельщиков болеют за «Шайбу» и 4 болельщика — за «Зубило», то возникает проблема, так как количество правдоподобных фраз не будет совпадать.
Но если взять N = 10 (то есть 10 болельщиков «Шайбы» и 6 болельщиков «Зубило»), то:
- 10 болельщиков «Шайбы» могут сказать правду друг другу, а 6 болельщиков «Зубило» тоже могут сказать правду друг другу (передавая ложь своим соседям).
- Это приведёт к тому, что 8 будут говорить одну фразу (правду) и 8 — другую (ложь).
Таким образом, максимальное количество болельщиков команды «Шайба» может составлять 10.
