Барабашка живёт в раздевалке, где Nº 6 стоят шкафчики с номерами от 93 до 105. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда,…
Барабашка живёт в раздевалке, где Nº 6 стоят шкафчики с номерами от 93 до 105. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Для решения этой задачи нам необходимо определить, до какого числа Барабашка будет произносить числа, прежде чем ни один шкафчик не отреагирует.
Шкафчики имеют номера от 93 до 105. Первый шаг — определим, какие числа из этого диапазона имеют делители до 12, так как 12 — это наибольшее число, которое соответствует количеству шкафчиков (12 шкафчиков от 93 до 105).
- Номера шкафчиков: 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105.
- Нам нужно рассмотреть деление каждого из номеров шкафчиков на последовательные натуральные числа, начиная с 1.
Можно выяснить, когда ни один из шкафчиков не подпрыгнет. Это произойдет, когда Барабашка начнет произносить число, большее 12, так как все номера шкафчиков в этом диапазоне (93-105) делятся на некоторые натуральные числа, начиная с 1 и до 12. Например, шкафчик 93 делится на 1, 3, 31 и так далее.
Как только будет произнесено число 13 или больше, не будет ни одного шкафчика, номер которого делится на 13 (так как все номера шкаffчиков меньше 13). Таким образом, первое число, на которое ни один шкафчик не реагирует, будет 13.
Теперь определим шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз. Рассмотрим, сколько раз каждый шкафчик реагировал на числа от 1 до 12:
- 93: делится на 1, 3, 31 → 3 раза
- 94: делится на 1, 2 → 2 раза
- 95: делится на 1, 5 → 2 раза
- 96: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 → 7 раз
- 97: делится только на 1 → 1 раз
- 98: делится на 1, 2, 7 → 3 раза
- 99: делится на 1, 3, 9 → 3 раза
- 100: делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20 → 6 раз
- 101: делится только на 1 → 1 раз
- 102: делится на 1, 2, 3, 6, 17 → 5 раз
- 103: делится только на 1 → 1 раз
- 104: делится на 1, 2, 4, 8, 13 → 5 раз
- 105: делится на 1, 3, 5, 7, 15, 21 → 6 раз
Наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик номер 96 (7 раз).
Итак, окончательный ответ:
- Число, после которого ни один шкафчик не отреагировал: 13.
- Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: номер 96.
