На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/4 всего торта, второй 1/5 оставшегося, третий 1/6…
На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/4 всего торта, второй 1/5 оставшегося, третий 1/6 оставшегося и так далее. Наконец 33-й богатырь съел 1/36 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор. Кто съел больше: первый богатырь или Черномор? Выбрать Во сколько раз? Если богатырь и Черномор съели поровну, в ответ запишите 1.
Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно вычислим, сколько торта съел каждый богатырь и сколько осталось на конец.
Первый богатырь съел \( \frac{1}{4} \) всего торта. Пусть изначально весь торт равен 1. Тогда после первого богатыря осталось: \[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \]
Второй богатырь съел \( \frac{1}{5} \) от оставшегося торта: \[ \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20}. \] После его поедания осталось: \[ \frac{3}{4} - \frac{3}{20} = \frac{15}{20} - \frac{3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}. \]
Третий богатырь съел \( \frac{1}{6} \) от оставшегося торта: \[ \frac{1}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{10}. \] После него осталось: \[ \frac{3}{5} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}. \]
Продолжим аналогично для всех 33 богатырей. Запишем обобщённую формулу: Крупный пример:
- i-й богатырь съедает \( \frac{1}{i+3} \) оставшегося торта: \[ S_{n} = \left(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \ldots - \frac{1}{n+3}\right). \]
Проделав вычисления таким образом для всех 33 богатырей, к 33-му богатырю станет понятно, сколько остается.
Тридцать третий богатырь съел \( \frac{1}{36} \) оставшегося куска. После него мы определим, сколько осталось для Черномора.
Теперь давайте вычислим количество съеденного каждым.
- После всех богатырей осталось: \[ Оставшийся кусок = Торт - (Сумма всех съеденных частей). \]
Чтобы узнать, кто съел больше — первый богатырь или Черномор — можем повторить шаги для получения значений.
Предположительно, если все проводятся правильно, черномор будет кушать 1/36 от оставшегося куска, а первый богатырь 1/4 от первоначального куска.
Сравнив их, увидим, что первый богатырь съел: \[ \frac{1}{4} \] и Черномор соответственно: \[ Оставшийся кусок насчет 33 богатырей. \]
Итак, будем ли считать, сколько раз каждый съел относительный кусок?
Ответ — 4, если всё проверено и нет остатка.
Итак, кто съел больше: первый богатырь или Черномор? Если они съели поровну, то ответ будет 1. Если богатырь съел в 4 раза больше, ответ будет 4.
