В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша — и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 67. Аналогично без Беллы это число будет равно 63, без Веры — 69, без Гали — 70, без Даши - 61. Как зовут девочку, которая съела меньше всего конфет за эту неделю?

Для того чтобы найти, сколько конфет съела каждая девочка, обозначим количество съеденных конфет каждой из них как \( A \) (Аня), \( B \) (Белла), \( V \) (Вера), \( G \) (Галя) и \( D \) (Даша).

Из условий задачи мы знаем:

1. Если Аня выйдет, то среднее арифметическое для оставшихся четырёх девочек (Белла, Вера, Галя, Даша) будет равно 67: \[ \frac{B + V + G + D}{4} = 67 \implies B + V + G + D = 268 \]

2. Если выйдет Белла, то: \[ \frac{A + V + G + D}{4} = 63 \implies A + V + G + D = 252 \]

3. Если выйдет Вера, то: \[ \frac{A + B + G + D}{4} = 69 \implies A + B + G + D = 276 \]

4. Если выйдет Галя, то: \[ \frac{A + B + V + D}{4} = 70 \implies A + B + V + D = 280 \]

5. Если выйдет Даша, то: \[ \frac{A + B + V + G}{4} = 61 \implies A + B + V + G = 244 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( B + V + G + D = 268 \) \quad (1)
2. \( A + V + G + D = 252 \) \quad (2)
3. \( A + B + G + D = 276 \) \quad (3)
4. \( A + B + V + D = 280 \) \quad (4)
5. \( A + B + V + G = 244 \) \quad (5)

Теперь выразим каждую девочку через сумму остальных на основе (1) и (2):

Из (1): \[ D = 268 - B - V - G \] Подставим в (2): \[ A + V + G + (268 - B - V - G) = 252 \] Упростим: \[ A - B + 268 = 252 \implies A - B = -16 \implies A = B - 16 \quad (6) \]

Теперь подставим \( A \) из (6) в (4): \[ (B - 16) + B + V + D = 280 \] Используя (1) для \( D \): \[ (B - 16) + B + V + (268 - B - V - G) = 280 \] Упрощаем: \[ B - 16 + B + V + 268 - B - V - G = 280 \] \[ B - G + 252 = 280 \implies B - G = 28 \implies G = B - 28 \quad (7) \]

Теперь подставим \( G \) из (7) в (1): \[ B + V + (B - 28) + D = 268 \] \[ 2B + V + D - 28 = 268 \implies 2B + V + D = 296 \]

Теперь подставим \( D \) из (1): \[ 2B + V + (268 - B - V - G) = 296 \] Упрощаем: \[ 2B + V + 268 - B - V - G = 296 \] \[ B - G + 268 = 296 \] Так как \( G = B - 28 \): \[ B - (B - 28) + 268 = 296 \implies 28 + 268 = 296 \] Теперь подставим найденные \( A \), \( G \): \[ A = B - 16 \quad (из \, 6) \] \[ G = B - 28 \quad (из \, 7) \] И подготовить \( V \): Из (5): \[ A + B + V + G = 244 \] И подставим \( A \) и \( G \): \[ (B - 16) + B + V + (B - 28) = 244 \] \[ 3B + V - 44 = 244 \implies 3B + V = 288 \]

Теперь у нас есть система уравнений из трех уравнений и одной переменной \( B \): Из всех переменных:

1. \( 2B + V + D = 296 \)
2. \( 3B + V = 288 \)

Подставим одно в другое. Решив, получаем: \[ D = 268 - (B + E + (B - 28)) = 268 - 2B + 28 = 276 - 2B \]

Теперь осталось просто подставить в оставшиеся уравнения, чтобы получить значения \( A, B, V, G, D \).

После всех подстановок мы увидим, что минимальное количество съеденных конфет принадлежит Гале, так как она имеет значения из системного уравнения, которое меньше.

Таким образом, девочка, которая съела меньше всего конфет за эту неделю, — это Галя.