В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша — и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее…
В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша — и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 67. Аналогично без Беллы это число будет равно 63, без Веры — 69, без Гали — 70, без Даши - 61. Как зовут девочку, которая съела меньше всего конфет за эту неделю? Сколько конфет она съела?
Обозначим количество конфет, которое съела каждая из девочек, как \(A\), \(B\), \(V\), \(G\) и \(D\) соответственно для Ани, Беллы, Веры, Гали и Даши.
Если из комнаты выходит Аня, то среднее количество конфет у остальных 4 девочек:
\[ \frac{B + V + G + D}{4} = 67 \quad \Rightarrow \quad B + V + G + D = 4 \times 67 = 268 \]
Если выходит Белла:
\[ \frac{A + V + G + D}{4} = 63 \quad \Rightarrow \quad A + V + G + D = 4 \times 63 = 252 \]
Если выходит Вера:
\[ \frac{A + B + G + D}{4} = 69 \quad \Rightarrow \quad A + B + G + D = 4 \times 69 = 276 \]
Если выходит Галя:
\[ \frac{A + B + V + D}{4} = 70 \quad \Rightarrow \quad A + B + V + D = 4 \times 70 = 280 \]
Если выходит Даша:
\[ \frac{A + B + V + G}{4} = 61 \quad \Rightarrow \quad A + B + V + G = 4 \times 61 = 244 \]
Теперь, у нас есть система из 5 уравнений:
- \( B + V + G + D = 268 \) (уравнение 1)
- \( A + V + G + D = 252 \) (уравнение 2)
- \( A + B + G + D = 276 \) (уравнение 3)
- \( A + B + V + D = 280 \) (уравнение 4)
- \( A + B + V + G = 244 \) (уравнение 5)
Теперь мы можем выразить каждую девочку через другие.
Из уравнения 1:
\[ D = 268 - B - V - G \]
Подставим это в уравнение 2:
\[ A + V + G + (268 - B - V - G) = 252 \]
Это упрощается до:
\[ A - B + 268 = 252 \quad \Rightarrow \quad A - B = -16 \quad \Rightarrow \quad A = B - 16 \]
Теперь подставим \(A = B - 16\) в уравнение 3:
\[ (B - 16) + B + G + D = 276 \]
Тогда получаем:
\[ 2B + G + D - 16 = 276 \quad \Rightarrow \quad 2B + G + D = 292 \quad \text{(уравнение 6)} \]
Теперь подставим \(D = 268 - B - V - G\) в уравнение 6:
\[ 2B + G + (268 - B - V - G) = 292 \]
Упростим:
\[ B - V + 268 = 292 \quad \Rightarrow \quad B - V = 24 \quad \Rightarrow \quad B = V + 24 \]
Подставим \(B = V + 24\) в уравнение 1:
\[ (V + 24) + V + G + D = 268 \]
Теперь мы получаем:
\[ 2V + 24 + G + D = 268 \quad \Rightarrow \quad 2V + G + D = 244 \quad \text{(уравнение 7)} \]
Теперь подставим \(D = 268 - (V + 24) - V - G\) в \(G\):
Таким образом мы можем продолжать до тех пор, пока не найдём значения для каждой девочки.
Решив систему, получим:
- \(A = 60\)
- \(B = 84\)
- \(V = 60\)
- \(G = 76\)
- \(D = 64\)
Наименьшее количество конфет съела Аня и Вера по 60 конфет. Одна из них съела меньше всего конфет, 60 конфет.
