Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80 , от левого аерхнего угла к центру . сперва он идёт по верхней строке до предпоследний столбца, поворачивает направо, доходит до третьей…
Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80 , от левого аерхнего угла к центру . сперва он идёт по верхней строке до предпоследний столбца, поворачивает направо, доходит до третьей снизу строки , поворачивает направо, доходит до четвёртого слева столбца и т.д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. на рисунке изображён такой путь для доски 8×8. он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 80 × 80
Давайте разберёмся с задачей о пути Димы по квадрату размером 80 × 80.
На доске 80 × 80 Дима начинает в верхнем левом углу (координаты (1, 1)) и движется вверх, вниз, а также вправо и влево по определённому маршруту, согласно описанию вашего вопроса. Его путь можно разбить на сегменты, по которым он перемещается, поворачивая направо после достижения определённых точек.
- Первоначально он движется по верхней строке, начиная с (1, 1) и доходит до предпоследнего столбца, что означает, что он проходит 79 клеток.
- Затем, поворачивая направо, он спускается по последнему столбцу до третьей строки снизу. Поскольку это 80-строчная доска, он проходит 77 клеток вниз (с 80-й до 3-й строки).
- Далее он поворачивает направо и движется вдоль третьей строки снизу до четвёртого столбца слева (это опять 77 клеток).
- Этот процесс продолжается, и Дима будет делать последовательные повороты и проходить по строкам и столбцам в определённом порядке, каждый раз уменьшая количество клеток, которые он проходит в зависимости от предыдущего направления.
Так как каждый новый сектор, по которому он идёт, будет на два меньше по вертикали или горизонтали, можно заметить, что длина его пути будет представлять собой чётную последовательность. В конце концов, когда он достигает одной из центральных клеток (для доски 80 × 80 это будет 40-я или 41-я клетка как по горизонтали, так и по вертикали), он завершает свой путь.
Считаем количество клеток, по которым он проходит:
- В первой строке: 79
- В первом столбце: 77
- В третьей строке: 75 (приводя к уменьшению на 2)
- В третьем столбце: 73
- И так далее...
Суммируя все проходящие сегменты, он проходит 1 клетку горизонтально и 1 клетку вертикально, уменьшение на 2 происходит при каждом изменении направления. Всего таких проходов до центра будет 16. Следовательно:
Общая длина пути будет равна: 79 + 77 + 75 + ... до последних клеток.
Эта последовательность будет выглядеть так: 79 + 77 + 75 + 73 + 71 + 69 + ... до 1 или 0.
Формула для суммы первых n нечётных чисел: (n)(n + 1). Здесь n = 40 (потому что мы говорим о числа до 79).
Таким образом, общее число ходов Димы составляет 16 клеток. На каждом из проходов он движется по крайней мере до 80 клеток.
Результат будет равен 16 клеток для конкретной последовательности в 80 × 80. Надеюсь, это поможет вам понять задачу лучше!
