Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4 1002 и 40 = 1010002 интересные, а число 14 = 11102 интересным не является.…

Чтобы решить задачу, начнем с определения интересных чисел. Интересным числом называется натуральное число, у которого в двоичной записи не более двух единиц. Это означает, что такие числа могут быть следующими:

1. Числа с одной единицей: Эти числа могут быть представлены в виде \(2^k\), где \(k \geq 0\). Например:
   • \(2^0 = 1\) (в двоичной: 1)
   • \(2^1 = 2\) (в двоичной: 10)
   • \(2^2 = 4\) (в двоичной: 100)
   • \(2^3 = 8\) (в двоичной: 1000)
   • \(2^4 = 16\) (в двоичной: 10000)
   • \(2^5 = 32\) (в двоичной: 100000)
   • \(2^6 = 64\) (в двоичной: 1000000)
   • \(2^7 = 128\) (в двоичной: 10000000)
   • \(2^8 = 256\) (в двоичной: 100000000)
   • \(2^9 = 512\) (в двоичной: 1000000000)
   • \(2^{10} = 1024\) (в двоичной: 10000000000)
   • \(2^{11} = 2048\) (в двоичной: 100000000000)
   • \(2^{12} = 4096\) (в двоичной: 1000000000000) — это число не подходит, так как оно больше 4000.

Итак, числа с одной единицей: \(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048\) (всего 12 чисел).

2. Числа с двумя единицами: Эти числа могут быть представлены в виде \(2^a + 2^b\), где \(0 \leq b < a\). Рассмотрим все возможные варианты для \(a\) и \(b\), чтобы убедиться, что сумма меньше 4000.

Для \(a = 1\) (числа вида \(2^1 + 2^0\)):

• \(2^1 + 2^0 = 3\)

Для \(a = 2\):

• \(2^2 + 2^0 = 5\)
• \(2^2 + 2^1 = 6\)

Для \(a = 3\):

• \(2^3 + 2^0 = 9\)
• \(2^3 + 2^1 = 10\)
• \(2^3 + 2^2 = 12\)

Для \(a = 4\):

• \(2^4 + 2^0 = 17\)
• \(2^4 + 2^1 = 18\)
• \(2^4 + 2^2 = 20\)
• \(2^4 + 2^3 = 24\)

Для \(a = 5\):

• \(2^5 + 2^0 = 33\)
• \(2^5 + 2^1 = 34\)
• \(2^5 + 2^2 = 36\)
• \(2^5 + 2^3 = 40\)
• \(2^5 + 2^4 = 48\)

Для \(a = 6\):

• \(2^6 + 2^0 = 65\)
• \(2^6 + 2^1 = 66\)
• \(2^6 + 2^2 = 68\)
• \(2^6 + 2^3 = 72\)
• \(2^6 + 2^4 = 80\)
• \(2^6 + 2^5 = 96\)

Для \(a = 7\):

• \(2^7 + 2^0 = 129\)
• \(2^7 + 2^1 = 130\)
• \(2^7 + 2^2 = 132\)
• \(2^7 + 2^3 = 136\)
• \(2^7 + 2^4 = 144\)
• \(2^7 + 2^5 = 160\)
• \(2^7 + 2^6 = 192\)

Для \(a = 8\):

• \(2^8 + 2^0 = 257\)
• \(2^8 + 2^1 = 258\)
• \(2^8 + 2^2 = 260\)
• \(2^8 + 2^3 = 264\)
• \(2^8 + 2^4 = 272\)
• \(2^8 + 2^5 = 288\)
• \(2^8 + 2^6 = 320\)
• \(2^8 + 2^7 = 384\)

Для \(a = 9\):

• \(2^9 + 2^0 = 513\)
• \(2^9 + 2^1 = 514\)
• \(2^9 + 2^2 = 516\)
• \(2^9 + 2^3 = 520\)
• \(2^9 + 2^4 = 528\)
• \(2^9 + 2^5 = 544\)
• \(2^9 + 2^6 = 576\)
• \(2^9 + 2^7 = 640\)
• \(2^9 + 2^8 = 768\)

Для \(a = 10\):

• \(2^{10} + 2^0 = 1025\)
• \(2^{10} + 2^1 = 1026\)
• \(2^{10} + 2^2 = 1028\)
• \(2^{10} + 2^3 = 1032\)
• \(2^{10} + 2^4 = 1040\)
• \(2^{10} + 2^5 = 1056\)
• \(2^{10} + 2^6 = 1088\)
• \(2^{10} + 2^7 = 1152\)
• \(2^{10} + 2^8 = 1280\)
• \(2^{10} + 2^9 = 1536\)

Для \(a = 11\):

• \(2^{11} + 2^0 = 2049\)
• \(2^{11} + 2^1 = 2050\)
• \(2^{11} + 2^2 = 2052\)
• \(2^{11} + 2^3 = 2056\)
• \(2^{11} + 2^4 = 2064\)
• \(2^{11} + 2^5 = 2080\)
• \(2^{11} + 2^6 = 2112\)
• \(2^{11} + 2^7 = 2176\)
• \(2^{11} + 2^8 = 2304\)
• \(2^{11} + 2^9 = 2560\)
• \(2^{11} + 2^{10} = 3072\)

Теперь подытожим: мы нашли все возможные интересные числа, меньшие 4000:

• Интересные числа с одной единицей: 12.
• Интересные числа с двумя единицами (посчитанные выше): 56.

В сумме получаем: \(12 + 56 = 68\).

Таким образом, существует 68 интересных чисел, меньших 4000.