Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4 1002 и 40 = 1010002 интересные, а число 14 = 11102 интересным не является.…

Чтобы решить эту задачу, начнём с определения интересных чисел, которые имеют не более двух единиц в двоичной записи. Такие числа могут быть представлены в виде:

1. Чисел с одной единицей: это 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее. В двоичной записи это 1, 10, 100, 1000 и так далее. Эти числа могут быть записаны в виде \( 2^n \), где \( n \) — неотрицательное целое число.

2. Чисел с двумя единицами: это числа, которые можно представить как сумму двух различных степеней двойки. Например, 3 (11), 5 (101), 6 (110), 9 (1001), 10 (1010), 12 (1100), 17 (10001) и так далее. Эти числа могут быть записаны в виде \( 2^m + 2^n \), где \( m > n \).

Теперь давайте найдём все интересные числа, которые меньше 4000, начиная с каждой категории.

Числа с одной единицей:

Найдём \( n \) такое, что \( 2^n < 4000 \):

• \( 2^0 = 1 \)
• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^6 = 64 \)
• \( 2^7 = 128 \)
• \( 2^8 = 256 \)
• \( 2^9 = 512 \)
• \( 2^{10} = 1024 \)
• \( 2^{11} = 2048 \)
• \( 2^{12} = 4096 \) (это число больше 4000 и не учитывается)

Таким образом, у нас есть 12 чисел с одной единицей: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048.

Числа с двумя единицами:

Теперь найдём все сочетания двух различных степеней двойки, \( 2^m + 2^n \), где \( m > n \):

• \( 2^1 + 2^0 = 2 + 1 = 3 \)
• \( 2^2 + 2^0 = 4 + 1 = 5 \)
• \( 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6 \)
• \( 2^3 + 2^0 = 8 + 1 = 9 \)
• \( 2^3 + 2^1 = 8 + 2 = 10 \)
• \( 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \)
• \( 2^4 + 2^0 = 16 + 1 = 17 \)
• \( 2^4 + 2^1 = 16 + 2 = 18 \)
• \( 2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \)
• \( 2^4 + 2^3 = 16 + 8 = 24 \)
• \( 2^5 + 2^0 = 32 + 1 = 33 \)
• \( 2^5 + 2^1 = 32 + 2 = 34 \)
• \( 2^5 + 2^2 = 32 + 4 = 36 \)
• \( 2^5 + 2^3 = 32 + 8 = 40 \)
• \( 2^5 + 2^4 = 32 + 16 = 48 \)
• \( 2^6 + 2^0 = 64 + 1 = 65 \)
• \( 2^6 + 2^1 = 64 + 2 = 66 \)
• \( 2^6 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \)
• \( 2^6 + 2^3 = 64 + 8 = 72 \)
• \( 2^6 + 2^4 = 64 + 16 = 80 \)
• \( 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96 \)
• \( 2^7 + 2^0 = 128 + 1 = 129 \)
• \( 2^7 + 2^1 = 128 + 2 = 130 \)
• \( 2^7 + 2^2 = 128 + 4 = 132 \)
• \( 2^7 + 2^3 = 128 + 8 = 136 \)
• \( 2^7 + 2^4 = 128 + 16 = 144 \)
• \( 2^7 + 2^5 = 128 + 32 = 160 \)
• \( 2^7 + 2^6 = 128 + 64 = 192 \)
• \( 2^8 + 2^0 = 256 + 1 = 257 \)
• \( 2^8 + 2^1 = 256 + 2 = 258 \)
• \( 2^8 + 2^2 = 256 + 4 = 260 \)
• \( 2^8 + 2^3 = 256 + 8 = 264 \)
• \( 2^8 + 2^4 = 256 + 16 = 272 \)
• \( 2^8 + 2^5 = 256 + 32 = 288 \)
• \( 2^8 + 2^6 = 256 + 64 = 320 \)
• \( 2^8 + 2^7 = 256 + 128 = 384 \)
• \( 2^9 + 2^0 = 512 + 1 = 513 \)
• \( 2^9 + 2^1 = 512 + 2 = 514 \)
• \( 2^9 + 2^2 = 512 + 4 = 516 \)
• \( 2^9 + 2^3 = 512 + 8 = 520 \)
• \( 2^9 + 2^4 = 512 + 16 = 528 \)
• \( 2^9 + 2^5 = 512 + 32 = 544 \)
• \( 2^9 + 2^6 = 512 + 64 = 576 \)
• \( 2^9 + 2^7 = 512 + 128 = 640 \)
• \( 2^9 + 2^8 = 512 + 256 = 768 \)
• \( 2^{10} + 2^0 = 1024 + 1 = 1025 \)
• \( 2^{10} + 2^1 = 1024 + 2 = 1026 \)
• \( 2^{10} + 2^2 = 1024 + 4 = 1028 \)
• \( 2^{10} + 2^3 = 1024 + 8 = 1032 \)
• \( 2^{10} + 2^4 = 1024 + 16 = 1040 \)
• \( 2^{10} + 2^5 = 1024 + 32 = 1056 \)
• \( 2^{10} + 2^6 = 1024 + 64 = 1088 \)
• \( 2^{10} + 2^7 = 1024 + 128 = 1152 \)
• \( 2^{10} + 2^8 = 1024 + 256 = 1280 \)
• \( 2^{10} + 2^9 = 1024 + 512 = 1536 \)
• \( 2^{11} + 2^0 = 2048 + 1 = 2049 \)
• \( 2^{11} + 2^1 = 2048 + 2 = 2050 \)
• \( 2^{11} + 2^2 = 2048 + 4 = 2052 \)
• \( 2^{11} + 2^3 = 2048 + 8 = 2056 \)
• \( 2^{11} + 2^4 = 2048 + 16 = 2064 \)
• \( 2^{11} + 2^5 = 2048 + 32 = 2080 \)
• \( 2^{11} + 2^6 = 2048 + 64 = 2112 \)
• \( 2^{11} + 2^7 = 2048 + 128 = 2176 \)
• \( 2^{11} + 2^8 = 2048 + 256 = 2304 \)
• \( 2^{11} + 2^9 = 2048 + 512 = 2560 \)
• \( 2^{11} + 2^{10} = 2048 + 1024 = 3072 \)

Не забудем проверить, что число меньше 4000. Полученные числа можно собрать в список.

Теперь подведём итоги:

• У нас есть 12 чисел с одной единицей.
• Для чисел с двумя единицами мы нашли 45 подходящих комбинаций.

Таким образом, общее количество интересных чисел, которые меньше 4000, равно \( 12 + 45 = 57 \).

Ответ: Существует 57 интересных чисел, меньших 4000.