Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим количество синих шариков в коробке \( i \) как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). По условию задачи, в каждой коробке должно быть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Кроме того, известно, что разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (то есть \( |b_i - r_i| \)) должна быть уникальной для каждой из 13 коробок.

Запишем условия более формально:

1. \( b_i \geq 1 \) и \( r_i \geq 1 \) для всех \( i \) от 1 до 13.
2. Разности \( d_i = |b_i - r_i| \) должны принимать 13 различных значений.

Поскольку количество синих и красных шариков одинаково, можно записать: \[ \sum_{i=1}^{13} b_i = \sum_{i=1}^{13} r_i. \]

Допустим, что разности \( d_i \) принимают значения от 0 до 12. Таким образом, разные разности могут быть следующими: \( 0, 1, 2, \ldots, 12 \).

1. Если \( d_i = |b_i - r_i| \):
   • Для \( d_i = k \) (где \( k \) – это значение разности), можем установить, что:
     • Если \( b_i > r_i \), то \( b_i = r_i + k \).
     • Если \( r_i > b_i \), то \( r_i = b_i + k \).

Определим минимальный стиль распределения этих значений. Чтобы получить минимальное общее количество шариков, разумно использовать минимально возможные значения \( b_i \) и \( r_i \):

• Для \( d_0 \) (где разность равна 0), вариант \( b = 1 \), \( r = 1 \) — это недопустимо, так как нужно, чтобы было как минимум одно различие.

• Чтобы продолжить, выбранные \( d_i \) от 1 до 12 и каждая разность задает пары:

  • (1, 2), (2, 3), (3, 4), …, (12, 13).

Таким образом, общее количество шариков можно определить следующим образом. Минимальные значения с учетом \( d_i \):

• Для \( d = 1: (b_1 = 1, r_1 = 2) \) → 3 шарика,
• Для \( d = 2: (b_2 = 2, r_2 = 4) \) → 6 шариков,
• И так далее, пока не достигнем \( d = 12: (b_{12} = 12, r_{12} = 13) \).

В итоге, для минимального количества шариков:

1. Например, можем взять такие пары:
   • 1 синий и 2 красных → 3 шарика
   • 2 синих и 4 красных → 6 шариков
   • 3 синих и 5 красных → 8 шариков
   • и так далее.

Понимая, что всевозможные пары должны дать уникальные суммы и минимальные величины, можно вывести, что общее количество шариков будет:

Сумма минимальных значений, учитывая \( i \):
\[ \text{Общее количество} = b_1 + r_1 + b_2 + r_2 + \ldots + b_{13} + r_{13}.\]

Рассматривая, что с корректными парами, минимальное количество достигается, когда заполняем добавить другие шары, делая суммарно 39 (для 13 ящиков, с минимумом в каждой коробке). Это делается повторением разностей из 1 до 12 учитывая общую сумму наборов.

Таким образом, минимальное количество шариков может быть 39.