Nº 3 Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 8 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Условие задачи говорит о том, что в каждой из 8 коробок содержатся синие и красные шарики. Пусть в i-й коробке будет \( b_i \) синих и \( r_i \) красных шариков. Мы знаем, что:

1. \( b_i \geq 1 \) и \( r_i \geq 1 \) для каждой коробки, так как в каждой должно быть хотя бы по одному шарику каждого цвета.
2. Разность между количеством шариков разных цветов в каждой коробке задаётся как \( d_i = |b_i - r_i| \), и нам нужны 8 различных значений \( d_i \).

Поскольку в задаче указано, что общее количество красных шариков равно общему количеству синих шариков, это означает, что:

\[ \sum_{i=1}^{8} b_i = \sum_{i=1}^{8} r_i. \]

Наименьшая возможная разность \( d_i \) при условии, что в каждой коробке хотя бы по одному шарику каждого цвета, начинается с 0, и минимальное значение, которое может принимать \( d_i \) — это 1, если количество шариков в коробках различно. То есть возможно, что:

• В одной коробке 2 синих и 1 красный (\( d_1 = 1 \))
• В другой — 3 синих и 2 красных (\( d_2 = 1 \))
• В третьей — 3 синих и 1 красный (\( d_3 = 2 \))
• В четвёртой — 4 синих и 1 красный (\( d_4 = 3 \))
• И так далее...

Если все значения \( d_i \) должны быть различными, можно рассмотреть такие значения, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, что дает нам 8 различных значений разностей.

Теперь рассчитаем минимальное количество шариков во всех коробках. Для обеспечения суммарного равенства количества синих и красных шариков, можно воспользоваться следующей конфигурацией:

1. Коробка 1: 2 синих и 1 красный (разность 1)
2. Коробка 2: 3 синих и 2 красных (разность 1)
3. Коробка 3: 3 синих и 1 красный (разность 2)
4. Коробка 4: 4 синих и 1 красный (разность 3)
5. Коробка 5: 5 синих и 2 красных (разность 3)
6. Коробка 6: 6 синих и 1 красный (разность 5)
7. Коробка 7: 6 синих и 2 красных (разность 4)
8. Коробка 8: 8 синих и 4 красных (разность 4)

Если облегчить эти значения, можно убедиться, что сумма синих и красных будет одинаковой. Например, если взять 3 синих в первой коробке, 4 во второй, и так далее, можно отладить так, чтобы каждая разность увеличивалась равномерно.

При этом получится:

• Сумма синих \( b \) минимальная (допустим 2 в первой, 3 во второй, 4 в третьей, и т.д.) привяжем к 2 красным при старте. Таким образом, каждый раз выбирая либо большее, либо меньшее количество, обеспечиваем 8 различных чисел разностей и равенство общей суммы.

Окончательно, минимальное множество таких шариков будет равно 16 (по 2 вида шариков на одном уровне 8 раз сделаем, обеспечив общее равенство).

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках будет 16.