Андрей начал выписывать в порядке возрастания все числа, для которых одновременно выполняются следующие условия: • состоят только из цифр 1 и 4; • имеют столько же единиц, сколько четвёрок; • делятся на 3. Какое число у Андрея стоит на втором месте?
Чтобы решить задачу, начнем с условий, которые нужно выполнить для нахождения чисел, состоящих только из цифр 1 и 4, с равным количеством единиц и четвёрок, а также делящихся на 3.
Числа, состоящие только из 1 и 4: Это означает, что все цифры числа должны быть либо 1, либо 4.
Равное количество единиц и четвёрок: Если мы обозначим количество единиц как \( n \) и количество четвёрок также как \( n \), то каждый подходящий номер будет иметь \( 2n \) цифр.
Делимость на 3: Для проверки делимости числа на 3 необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Сумма цифр числа будет \( n \cdot 1 + n \cdot 4 = 5n \).
Теперь, чтобы \( 5n \) делилось на 3, нужно, чтобы \( n \) было кратно 3, так как 5 и 3 взаимно простые числа. Следовательно, допустимые значения \( n \) могут быть 0, 3, 6 и так далее. Начнем с наименьшего значения.
Теперь давайте найдем все возможные числа для \( n = 3 \):
- У нас 3 единицы и 3 четвёрки. Благодаря комбинаторике, количество различных перестановок цифр 1 и 4 равно \( \frac{6!}{3!3!} = 20 \).
- Составим все численные комбинации. Они будут в виде: 111444, 111344, 114144 и т.д.
Теперь давайте перечислим числа в порядке возрастания и проверим, какое из них стоит на втором месте. Приранжировке получаем:
- 111444
- 114144
- 114414
- 141144
- 141414
- 144114
- 144141
- 411144
- 411414
- 414114
- 414141
- 441114
- 441141
- 444111
Находим, что число, стоящее на втором месте - это 114144. Таким образом, ответом является 114144.
