(№23. Представить следующие векторы в виде разложения по координатному базису і, j, k в пространстве и по базису і, j на плоскости: a) a = {1, - 2, 3}, b = {0, -1, 2}, c = {3, 0,…

Конечно! Давайте разберем ваши вопросы по векторной алгебре.

Задание № 23

Для представления векторов в виде разложения по координатному базису \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) в пространстве и по базису \( \mathbf{i}, \mathbf{j} \) на плоскости, рассмотрим каждый из векторов.

a) Векторы:

• \( \mathbf{a} = \{1, -2, 3\} \)
• \( \mathbf{b} = \{0, -1, 2\} \)
• \( \mathbf{c} = \{3, 0, 0\} \)

В пространстве (базис \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \)):

• \( \mathbf{a} = 1 \cdot \mathbf{i} - 2 \cdot \mathbf{j} + 3 \cdot \mathbf{k} \)
• \( \mathbf{b} = 0 \cdot \mathbf{i} - 1 \cdot \mathbf{j} + 2 \cdot \mathbf{k} \)
• \( \mathbf{c} = 3 \cdot \mathbf{i} + 0 \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \)

На плоскости (базис \( \mathbf{i}, \mathbf{j} \)):

• \( \mathbf{a} = 1 \cdot \mathbf{i} - 2 \cdot \mathbf{j} \)
• \( \mathbf{b} = 0 \cdot \mathbf{i} - 1 \cdot \mathbf{j} \)
• \( \mathbf{c} = 3 \cdot \mathbf{i} \)

б) Векторы:

• \( \mathbf{a} = \{-3, 5\} \)
• \( \mathbf{b} = \{0, -1\} \)
• \( \mathbf{c} = \{4, 0\} \)

На плоскости (базис \( \mathbf{i}, \mathbf{j} \)):

• \( \mathbf{a} = -3 \cdot \mathbf{i} + 5 \cdot \mathbf{j} \)
• \( \mathbf{b} = 0 \cdot \mathbf{i} - 1 \cdot \mathbf{j} \)
• \( \mathbf{c} = 4 \cdot \mathbf{i} + 0 \cdot \mathbf{j} \)

Задание № 24

Даны векторы:

• \( \mathbf{a} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \)
• \( \mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k} \)

a) Найдем векторы:

• \( \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} \): \[ \mathbf{c} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{i}) + (-2\mathbf{j} + \mathbf{j}) + (3\mathbf{k} - 4\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} \]

• \( \mathbf{d} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \): \[ \mathbf{d} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{i}) + (-2\mathbf{j} - \mathbf{j}) + (3\mathbf{k} + 4\mathbf{k}) = -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 7\mathbf{k} \]

• \( \mathbf{p} = 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} \): \[ \mathbf{p} = 3(\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) + 2(2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = (3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 9\mathbf{k}) + (4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 8\mathbf{k}) = 7\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k} \]

• \( \mathbf{q} = 5\mathbf{a} - 4\mathbf{b} \): \[ \mathbf{q} = 5(\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - 4(2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = (5\mathbf{i} - 10\mathbf{j} + 15\mathbf{k}) - (8\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 16\mathbf{k}) = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 31\mathbf{k} \]

б) Найдем модули векторов:

• \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = |\mathbf{c}| \): \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \]

• \( |5\mathbf{a} - 4\mathbf{b}| = |\mathbf{q}| \): \[ |\mathbf{q}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (31)^2} = \sqrt{9 + 36 + 961} = \sqrt{1006} \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, дайте знать!