известно,что сумма квадратов корней трехчлена х²+2ах +2в равна сумме квадратов корней трехчлена х²+2вх+2а. Чему равно а+в, если а не равно в

Чтобы решить задачу, начнем с определения корней данных трёхчленов и используем свойства квадратов корней.

1. Рассмотрим трёхчлен \(x^2 + 2ax + 2b\). По формуле Василия, сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\) и произведение корней равно \(\frac{c}{a}\):

   • Корни этого трёхчлена: \(x_1\) и \(x_2\).
   • Сумма квадратов корней: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\).

   Для \(x^2 + 2ax + 2b\):

   • \(x_1 + x_2 = -2a\)
   • \(x_1 x_2 = 2b\)

   Таким образом, сумма квадратов: \[ x_1^2 + x_2^2 = (-2a)^2 - 2(2b) = 4a^2 - 4b \]

2. Теперь рассмотрим трёхчлен \(x^2 + 2bx + 2a\):

   • Корни этого трёхчлена: \(y_1\) и \(y_2\).
   • Сумма квадратов корней аналогично:
   • \(y_1 + y_2 = -2b\)
   • \(y_1 y_2 = 2a\)

   Следовательно, сумма квадратов: \[ y_1^2 + y_2^2 = (-2b)^2 - 2(2a) = 4b^2 - 4a \]

3. Согласно условию, сумма квадратов корней первого трёхчлена равна сумме квадратов корней второго трёхчлена: \[ 4a^2 - 4b = 4b^2 - 4a \]

4. Упростим это уравнение: \[ 4a^2 - 4b - 4b^2 + 4a = 0 \] Разделим на 4: \[ a^2 + a - b^2 - b = 0 \]

5. Переведем уравнение в более удобный вид: \[ a^2 + a = b^2 + b \]

6. Мы можем переписать это уравнение как: \[ a^2 - b^2 + a - b = 0 \] Факторизуем его: \[ (a - b)(a + b + 1) = 0 \]

7. У нас два случая:

   • \(a - b = 0\), что противоречит нашему условию \(a \neq b\).
   • \(a + b + 1 = 0\), отсюда получаем: \[ a + b = -1 \]

Итак, окончательный ответ: \(a + b = -1\).