Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Давайте разберем задачу по порядку.
Барабашка будет называть натуральные числа, начиная с 1. Шкафчики имеют номера от 98 до 111. Каждый шкафчик будет подпрыгивать, если его номер кратен (делится на) на название числа.
Таким образом, шкафчики от 98 до 111 будут подпрыгивать на числа, которые являются делителями их номеров. Мы можем обнаружить, что каждый шкафчик будет реагировать на некоторые числа, а как только Барабашка назовет число, к которому ни один шкафчик не отреагирует, на этом всё и закончится.
Важный момент: шкафчики подпрыгивают, если номер шкафа (от 98 до 111) делится на названное число. То есть, нам нужно выяснить, какое наименьшее число Барабашка сможет назвать, чтобы ни один шкафчик не среагировал. Это произойдёт, когда будет названо число больше 111, так как все шкафчики имеют номера от 98 до 111 и не могут делиться ни на одно число больше 111.
Теперь давайте выясним, какой шкафчик подпрыгнул больше всего раз. Нам нужно посмотреть, какая из шкафчиков может делиться на большее количество чисел от 1 до 111. Определим количество делителей для каждого шкафа:
- Шкафчик 98: делится на {1, 2, 7, 14, 49, 98} – 6 делителей
- Шкафчик 99: делится на {1, 3, 9, 11, 33, 99} – 6 делителей
- Шкафчик 100: делится на {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} – 9 делителей
- Шкафчик 101: делится на {1, 101} – 2 делителя
- Шкафчик 102: делится на {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102} – 8 делителей
- Шкафчик 103: делится на {1, 103} – 2 делителя
- Шкафчик 104: делится на {1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104} – 8 делителей
- Шкафчик 105: делится на {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105} – 8 делителей
- Шкафчик 106: делится на {1, 2, 53, 106} – 4 делителя
- Шкафчик 107: делится на {1, 107} – 2 делителя
- Шкафчик 108: делится на {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108} – 12 делителей
- Шкафчик 109: делится на {1, 109} – 2 делителя
- Шкафчик 110: делится на {1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110} – 8 делителей
- Шкафчик 111: делится на {1, 3, 37, 111} – 4 делителя
Как видно, шкафчик под номером 108 подпрыгнул наибольшее количество раз – 12.
Таким образом, число, на которое ни один шкафчик не отреагирует, – это 112 (первое число, большее 111).
Итак, ответ на ваш вопрос: последнее число, на которое ни один шкафчик не среагировал, это 112, а шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз, – это шкафчик номер 108.
