На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя на 4 задачи больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 15 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Давайте разберёмся с данной задачей поэтапно.
Обозначим количество задач, которые решили каждый из участников:
- Пусть количество задач, решённых Федей, равно \( F \).
- Тогда, согласно условию, Катя решила на 5 задач больше, то есть \( K = F + 5 \).
- Пусть количество задач, решённых Пашей, будет \( P \).
- Мотя, по условию, решил на 4 задачи больше Паши, то есть \( M = P + 4 \).
У нас есть следующие уравнения:
- \( K = F + 5 \)
- \( M = P + 4 \)
- Сумма задач двух лучших работ равна 15 (то есть, \( K + M = 15 \) или \( F + 5 + P + 4 = 15 \)).
Теперь подставим \( K \) и \( M \) в третье уравнение: \[ F + 5 + P + 4 = 15. \] Сложим постоянные: \[ F + P + 9 = 15. \] Теперь вычтем 9 из обеих сторон: \[ F + P = 6. \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( F + P = 6 \)
- \( K = F + 5 \)
- \( M = P + 4 \)
Решим это уравнение с учётом того, что все числа должны быть разными.
Рассмотрим возможные значения для \( F \) и \( P \):
- Если \( F = 2 \), тогда \( P = 6 - 2 = 4 \). Подставляем:
- \( K = 2 + 5 = 7 \)
- \( M = 4 + 4 = 8 \)
Получаем: \( K = 7 \), \( M = 8 \), \( F = 2 \), \( P = 4 \).
Так, получилось 4 различных значения: \( K = 7 \), \( M = 8 \), \( F = 2 \), и \( P = 4 \).
Теперь складываем все задачи: \[ K + M + F + P = 7 + 8 + 2 + 4 = 21. \]
Таким образом, все варианты по подсчётам дают возможность нам только один вариант, так как необходимо следовать условиям.
Ответ: Всего задач решено 21.
