известно, что сумма квадратов корней трехчлена x²+7ax+7b равна сумме квадратов корней трехчлена x²+7bx+7a. Чему равно a+b, если a не ровно b?
Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть два трехчлена:
- \( x^2 + 7ax + 7b \)
- \( x^2 + 7bx + 7a \)
Согласно условию, сумма квадратов корней первого трехчлена равна сумме квадратов корней второго трехчлена.
Напомним, что если \( p \) и \( q \) — корни трехчлена \( x^2 + px + q \), то сумма корней \( S = p + q = -\frac{b}{a} \) и произведение корней \( P = pq = \frac{c}{a} \), где \( a \) — коэффициент перед \( x^2 \), \( b \) — перед \( x \), а \( c \) — свободный член.
Для трехчлена \( x^2 + 7ax + 7b \):
- Сумма корней \( S_1 = -\frac{7a}{1} = -7a \)
- Произведение корней \( P_1 = 7b \)
Сумма квадратов корней можно вычислить по формуле:
\[ S_1^2 - 2P_1 = (-7a)^2 - 2 \cdot 7b = 49a^2 - 14b \]
Для трехчлена \( x^2 + 7bx + 7a \):
- Сумма корней \( S_2 = -\frac{7b}{1} = -7b \)
- Произведение корней \( P_2 = 7a \)
Сумма квадратов корней будет:
\[ S_2^2 - 2P_2 = (-7b)^2 - 2 \cdot 7a = 49b^2 - 14a \]
По условию задачи, мы имеем равенство:
\[ 49a^2 - 14b = 49b^2 - 14a \]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ 49a^2 - 49b^2 + 14a - 14b = 0 \]
Это можно выразить как разность квадратов:
\[ 49(a^2 - b^2) + 14(a - b) = 0 \]
Факторизуем:
\[ (7(a - b))(7(a + b)) + 14(a - b) = 0 \]
Из этого равенства мы видим, что \( a - b \) является общим множителем. Если \( a \neq b \), то можно разделить обе части уравнения на \( a - b \):
\[ 7(a + b) + 14 = 0 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ 7(a + b) = -14 \implies a + b = -2 \]
Таким образом, сумма \( a + b \) равна \( -2 \).
