Барабашка живет в раздевалке со шкафчиками номер 67 до 79. Он стал произносить числа натурального ряда, начиная с 1. при этом, если номер шкафчика делится на называемое число то…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть шкафчики с номерами от 67 до 79. Это числовой ряд: 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.

Барабашка произносит натуральные числа, начиная с 1. Шкафчик подпрыгивает, если его номер делится на произносимое число.

Чтобы выяснить, когда ни один шкафчик не подпрыгнул, нужно найти такое число, которое больше всех номеров шкафчиков, то есть больше 79. В данном случае, это число 80. Когда Барабашка произнесет 80, ни один из шкафчиков (67-79) не сможет на него среагировать, так как 80 не делится на ни одно из этих чисел.

Теперь разберемся, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее число раз. Для этого мы можем проанализировать, сколько раз каждый шкафчик реагирует на числа от 1 до 79.

Количество раз, когда шкафчик с номером \( n \) подпрыгнет, соответствует количеству делителей этого номера среди чисел от 1 до 79:

• Шкафчик 67: делится на 1 и 67 (2 раза)
• Шкафчик 68: делится на 1, 2, 4, 17, 34, 68 (6 раз)
• Шкафчик 69: делится на 1, 3, 23, 69 (4 раза)
• Шкафчик 70: делится на 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 (8 раз)
• Шкафчик 71: делится на 1 и 71 (2 раза)
• Шкафчик 72: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (12 раз)
• Шкафчик 73: делится на 1 и 73 (2 раза)
• Шкафчик 74: делится на 1, 2, 37, 74 (4 раза)
• Шкафчик 75: делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75 (6 раз)
• Шкафчик 76: делится на 1, 2, 4, 19, 38, 76 (6 раз)
• Шкафчик 77: делится на 1, 7, 11, 77 (4 раза)
• Шкафчик 78: делится на 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 (8 раз)
• Шкафчик 79: делится на 1 и 79 (2 раза)

Сравнив все количества, мы видим, что шкафчик номер 72 подпрыгнул наибольшее число раз — целых 12 раз.

Таким образом, ответ на вопрос:

• Первое число, после которого ни один шкафчик не подпрыгнул — это 80.
• Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз — это шкафчик номер 72.