Известно, что сумма квадратов корней трехчлена x²+7ax+7b равна сумме квадратов корней трехчлена x²+7bx+7a. Чему равно a+b, если a≠b?

Рассмотрим два трехчлена:

1. \( P_1(x) = x^2 + 7ax + 7b \)
2. \( P_2(x) = x^2 + 7bx + 7a \)

По условию задачи известно, что сумма квадратов корней первого трехчлена равна сумме квадратов корней второго.

Сумма корней для любого квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выражается формулой \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней — \(\frac{c}{a}\).

Для разложенного квадратного уравнения \( P_1(x) = 0 \):

• Сумма корней: \( r_1 + r_2 = -\frac{7a}{1} = -7a \)
• Произведение корней: \( r_1 r_2 = \frac{7b}{1} = 7b \)

Сумма квадратов корней \( r_1^2 + r_2^2 \) может быть найдена по формуле: \[ r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 \]

Подставляем значения: \[ r_1^2 + r_2^2 = (-7a)^2 - 2(7b) = 49a^2 - 14b \]

Теперь для второго трехчлена \( P_2(x) = 0 \):

• Сумма корней: \( s_1 + s_2 = -7b \)
• Произведение корней: \( s_1 s_2 = 7a \)

Аналогично, сумма квадратов корней: \[ s_1^2 + s_2^2 = (-7b)^2 - 2(7a) = 49b^2 - 14a \]

По условию задачи имеем равенство: \[ 49a^2 - 14b = 49b^2 - 14a \]

Переносим все члены на одну сторону: \[ 49a^2 - 49b^2 + 14a - 14b = 0 \]

Вынесем общий множитель: \[ 49(a^2 - b^2) + 14(a - b) = 0 \]

Используем формулу разности квадратов: \[ (49(a - b) + 14)(a + b) = 0 \]

Так как \( a \neq b \), следовательно, \( a - b \neq 0 \). Таким образом, мы можем решить: \[ 49(a - b) + 14 = 0 \quad \text{или} \quad 49(a - b) = -14 \] \[ a - b = -\frac{14}{49} = -\frac{2}{7} \]

Теперь, выражая \( a \) через \( b \): \[ a = b - \frac{2}{7} \]

Подставим это значение в \( a + b \): \[ a + b = (b - \frac{2}{7}) + b = 2b - \frac{2}{7} \]

Поскольку конечный ответ зависит от конкретного значения \( b \), можно задать \( b = 1 \) для простоты: \[ a = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \] \[ a + b = \frac{5}{7} + 1 = \frac{5}{7} + \frac{7}{7} = \frac{12}{7} \]

Таким образом, \( a + b = 2b - \frac{2}{7} \) остается открытым, пока мы не зададим \( b \). Конкретного значения \( a+b \) в полной мере не определяется без дополнительных условий, однако можно выразить его через \( b \):

Итак, требуемое значение \( a + b \) будет в общем виде \( 2b - \frac{2}{7} \).