Дима отправился гулять по квадрату 200×200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, и он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 200×200

Чтобы определить длину пути Димы по квадрату 200×200, стоит обратить внимание на его последовательность движения. Дима начинает от правого верхнего угла и движется по определённой траектории, поворачивая налево на каждом этапе.

1. Первоначальная позиция: правый верхний угол (200, 200).
2. Дима идет по верхней строке до второго столбца. Это первый шаг: 1 клетка.
3. Затем он поворачивает налево и движется вниз до третьей снизу строки. Если считать, что это 199 клеток вниз (из 200 вычитаем 3), то это 199 клеток.
4. Следующий поворот налево приводит его к четвертому столбцу справа, что означает, что он идет 197 клеток влево (изначально было 200, затем он прошёл 3 вправо).
5. Затем Дима продолжает маршрут, поворачивая налево еще раз и идя вниз, влево и так далее.

Каждый раз, когда он меняет направление, он проходит меньше клеток, так как он приближается к центру. Чтобы вычислить общее количество клеток на маршруте, мы можем заметить, что после каждого полного круга (четырех направлений) он проходит последовательности: 200, 199, 198, 197, и так по уменьшению.

Когда он дойдёт до центральной позиции (или одной из четырёх центральных клеток), его путь можно описать формулой, которая основана на последовательно уменьшающемся числе клеток.

Учитывая совместное движение по всем направлениям, можно сосчитать:

• На первом "круте" он проходил 200 + 199 + 200 + 199 = 798 клеток.
• Каждый последующий "круг" будет останавливать движение на 2 клетки по каждой оси.

Таким образом, сколько кругов Дима сможет сделать прежде чем достигнет центра? Это зависит от размера звена, составленного по 4 движения:

• Каждый цикл движется по: 200, 198, 196, и так далее, уменьшая общее количество клеток на 4 при каждом полном цикле.

Для поля 200×200, длина пути Димы, следуя вышеописанному алгоритму, будет составлять 200² / 4 = 10000 клеток.

Поэтому длина пути для доски 200×200 составляет 10000 клеток.