Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Представим, что Барабашка по порядку называет числа от 1 и далее. Все шкафчики, остановившиеся в раздевалке, имеют номера от 98 до 111. Шкафчик будет подпрыгивать, если его номер делится на произнесённое число.
Чтобы понять, какое число произнёс Барабашка, на которое ни один шкафчик не отреагировал, нужно найти наибольшее число, после произнесения которого все шкафа не подпрыгнули. Это произойдёт, когда произнесённое число больше 111, так как никто из шкафчиков с номерами от 98 до 111 не может делиться на числа больше своих максимальных значений.
Следовательно, число, при произнесении которого ни один шкафчик не среагировал – это 112.
Теперь выясним, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Нам нужно проверить, сколько раз каждый из шкафчиков (с 98 по 111) будет подпрыгивать при произношении разных чисел.
Рассмотрим шкафчики:
- Шкафчик 98: реагирует на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (6 раз).
- Шкафчик 99: реагирует на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (6 раз).
- Шкафчик 100: реагирует на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 раз).
- Шкафчик 101: реагирует на 1, 101 (2 раза).
- Шкафчик 102: реагирует на 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (8 раз).
- Шкафчик 103: реагирует на 1, 103 (2 раза).
- Шкафчик 104: реагирует на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (8 раз).
- Шкафчик 105: реагирует на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (8 раз).
- Шкафчик 106: реагирует на 1, 2, 53, 106 (4 раза).
- Шкафчик 107: реагирует на 1, 107 (2 раза).
- Шкафчик 108: реагирует на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (12 раз).
- Шкафчик 109: реагирует на 1, 109 (2 раза).
- Шкафчик 110: реагирует на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (8 раз).
- Шкафчик 111: реагирует на 1, 3, 37, 111 (4 раза).
Наибольшее число раз прыгнул шкафчик 108 – целых 12 раз.
Таким образом, окончательный ответ: Число, при произнесении которого ни один шкафчик не среагировал: 112. Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: шкафчик 108.
