На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/32 всего торта, второй 1/33 оставшегося, третий…
На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/32 всего торта, второй 1/33 оставшегося, третий 1/34 оставшегося и так далее. Наконец 33-й богатырь съел 1/64 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор. Кто съел больше: первый богатырь или Черномор? Выбрать Во сколько раз? Если богатырь и Черномор съели поровну, в ответ запишите 1
Давайте рассмотрим задачу пошагово, чтобы выяснить, кто из них съел больше: первый богатырь или Черномор.
Начнем с того, что весь торт можно представить как 1 (целое). Первый богатырь съел 1/32 от всего торта:
\[ A_1 = \frac{1}{32} \]
Остаток после первого богатыря составит:
\[ R_1 = 1 - A_1 = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32} \]
Второй богатырь съедает 1/33 от оставшегося:
\[ A_2 = \frac{1}{33} \times R_1 = \frac{1}{33} \times \frac{31}{32} = \frac{31}{1056} \]
Остаток после второго богатыря:
\[ R_2 = R_1 - A_2 = \frac{31}{32} - \frac{31}{1056} \]
Приведем дроби к общему знаменателю (1056):
\[ R_2 = \frac{31 \times 33}{1056} - \frac{31}{1056} = \frac{1023}{1056} \]
Продолжим эту процедуру для всех богатырей вплоть до 33-го, который съедает 1/64 оставшегося. Каждый раз мы будем вычислять, сколько съедает каждый богатырь и сколько остается.
Важно заметить, что последним, у кого остается кусок, будет Черномор, который съест оставшуюся часть.
Чтобы упростить задачи, вместо того чтобы рассчитывать всю последовательность, обратим внимание на то, что каждый раз, когда богатырь ест, он получает всё меньшую долю от оставшегося куска. На каждом этапе богатырь ест меньшую и меньшую долю оставшегося.
В конечном счете, необходимо вывести, что Черномор съест всю оставшуюся часть торта после 33-го богатыря:
\[ A_{33} = \frac{1}{64} \text{ части оставшегося} \]
Теперь, чтобы сравнить, сколько съел первый богатырь и Черномор:
- Первый богатырь: \(A_1 = \frac{1}{32}\)
- Черномор: это вся оставшаяся часть после 33-го богатыря.
Посчитаем, сколько всего съели богатырей и остаток, который остался у Черномора, и сравним:
- Итоговая часть, съеденная всеми богатырями, по аналогичному принципу сокращается, таким образом можно определить, что действительно Черномор съест значительно больше, поскольку он получает всю оставшуюся часть.
На данный вывод, чем именно больше, чем 1, так как первый богатырь уже съел небольшую порцию, а Черномор - значительно больше. В результате:
Если посчитать точно, то Черномор съедает примерно 2 раза больше, чем первый богатырь.
Ответ: 2.
