на плоскости проведено 10 прямых. известно что если выбрать из этих прямых любые 4 то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. какое наибольшее количество точек…

Чтобы решить задачу о пересечениях прямых на плоскости, начнём с рассмотрения условий. У нас есть 10 прямых, и известно, что если выбрать любые 4 из них, то среди выбранных найдутся хотя бы две параллельные. Это означает, что среди 10 прямых может быть не более 3 групп параллельных прямых, так как при наличии 4-х прямых хотя бы две из них должны быть параллельными.

Давайте обозначим количество прямых в каждой группе параллельных прямых как \(k_1\), \(k_2\) и \(k_3\). Тогда выполняется следующее неравенство:

\[k_1 + k_2 + k_3 \leq 10.\]

Для максимизации количества точек пересечения мы должны минимизировать количество параллельных прямых в каждой группе. Наилучший вариант - иметь три группы прямых, в которых по 3, 3 и 4 прямые, так как именно в этом случае можно создать наибольшее количество пересечений.

Максимальное количество точек пересечения для \(n\) прямых, если они не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, вычисляется по формуле:

\[ \frac{n(n-1)}{2}. \]

Однако, учитывая, что у нас есть группы параллельных прямых, мы должны вычесть пересечения, которые могли бы произойти между параллельными прямыми.

Допустим, у нас 3 прямые в одной группе параллельных прямых, и 3 в другой, и 4 в третьей. Тогда количество пересечений будет:

• Всего прямых: 10,
• Пересечения между группами: \(C(4, 2) + C(3, 2) + C(3, 2) = 6 + 3 + 3 = 12\).

Итак, максимальное количество точек пересечения, принимая во внимание параллельные прямые, будет:

\[ \frac{10(10-1)}{2} - (3 + 3 + 6) = 45 - 12 = 33. \]

Таким образом, наибольшее количество точек пересечения, которые могут иметь между собой все проведённые прямые, составляет 33 точки.