Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберёмся с условиями. У нас есть шкафчики с номерами от 98 до 111, и Барабашка называет числа из натурального ряда, начиная с 1. Каждый шкафчик реагирует (подпрыгивает), если его номер делится на произнесённое число.
- Определение числа, из-за которого ни один шкафчик не подпрыгнул. Чтобы выяснить, какое число было произнесено последним, после которого ни один шкафчик не отреагировал, нам нужно найти наибольшее число, большее 111, не имеющее делителей среди номеров шкафчиков. Это число просто должно превосходить 111.
Каждый шкафчик подпрыгнет на число \( n \), если \( n \) делит номер шкафчика. Соответственно, если будет названо число 112 или больше, ни один шкафчик не подпрыгнет, так как ни один из шкафчиков (98, 99, 100, ..., 111) не делится на 112 или больше.
Таким образом, первое число, при произнесении которого ни один шкафчик не подпрыгнул — это 112.
- Определение шкафчика, который подпрыгнул наибольшее количество раз. Теперь нужно определить, какой шкафчик между 98 и 111 подпрыгнул наибольшее количество раз. Это происходит тогда, когда номер шкафчика делится на наибольшее количество чисел, которые он может разделить без остатка от 1 до 111.
Для этого рассчитаете количество делителей каждого номера шкафчика в указанном диапазоне.
- 98: делится на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (всего 6 делителей)
- 99: делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (всего 6 делителей)
- 100: делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (всего 9 делителей)
- 101: делится на 1, 101 (всего 2 делителя)
- 102: делится на 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (всего 8 делителей)
- 103: делится на 1, 103 (всего 2 делителя)
- 104: делится на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (всего 8 делителей)
- 105: делится на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (всего 8 делителей)
- 106: делится на 1, 2, 53, 106 (всего 4 делителя)
- 107: делится на 1, 107 (всего 2 делителя)
- 108: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (всего 12 делителей)
- 109: делится на 1, 109 (всего 2 делителя)
- 110: делится на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (всего 8 делителей)
- 111: делится на 1, 3, 37, 111 (всего 4 делителя)
Наибольшее количество делителей оказывается у номера 108, который имеет 12 делителей.
Итак, итог:
- Первое число, после которого ни один шкафчик не подпрыгнул — 112.
- Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее число раз — 108.
