На координатной плоскости ОХУ отметили все точки (х;у), координаты которых удовлетворяет уравнению х^2+3у^2=2х-1. Что за множество получилось?
Чтобы определить множество точек на координатной плоскости \( OXY \), удовлетворяющее уравнению \( x^2 + 3y^2 = 2x - 1 \), начнем с преобразования данного уравнения.
Сначала перенесем все элементы на одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 2x + 3y^2 + 1 = 0 \]
Теперь упростим его. В квадрате \( x \) мы можем выделить полный квадрат:
\[ (x^2 - 2x + 1) + 3y^2 = 0 \]
Это можно записать как:
\[ (x - 1)^2 + 3y^2 = 0 \]
Так как сумма квадратов всегда неотрицательна, то для того, чтобы \( (x - 1)^2 + 3y^2 = 0 \), каждая из частей должна равняться нулю. Это происходит только в том случае, если:
\[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{и} \quad 3y^2 = 0 \]
Решая эти равенства, мы получаем:
- \( (x - 1)^2 = 0 \) означает, что \( x = 1 \).
- \( 3y^2 = 0 \) означает, что \( y = 0 \).
Таким образом, единственная точка, удовлетворяющая данному уравнению, — это \( (1, 0) \).
В итоге, множество точек, удовлетворяющее уравнению \( x^2 + 3y^2 = 2x - 1 \), представляет собой одну точку: \( (1, 0) \) на координатной плоскости.
