Найдите множество точек координатной плоскости, которое задано системой неравенств: (x² - y ≤ 3, (y-x≤3
Давайте решим систему неравенств:
- \( x^2 - y \leq 3 \)
- \( y - x \leq 3 \)
Начнем с первого неравенства:
- \( x^2 - y \leq 3 \)
Можно переписать его в виде:
\[ y \geq x^2 - 3 \]
Это неравенство представляет собой область, находящуюся выше параболы \( y = x^2 - 3 \).
Теперь рассмотрим второе неравенство:
- \( y - x \leq 3 \)
Перепишем его так:
\[ y \leq x + 3 \]
Это неравенство задает область ниже прямой \( y = x + 3 \).
Теперь у нас есть две области:
- Область выше параболы \( y = x^2 - 3 \)
- Область ниже прямой \( y = x + 3 \)
Для нахождения множества точек, соответствующих обеим областям, нужно найти пересечение этих областей. Это можно сделать графически или аналитически, решив систему уравнений видов:
\[ x^2 - 3 = x + 3 \]
Переносим все части в одну сторону:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Решим это уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Таким образом,
- \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)
Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для этих \( x \):
Для \( x = 3 \):
\[ y = 3 + 3 = 6 \]
Для \( x = -2 \):
\[ y = -2 + 3 = 1 \]
Теперь у нас есть две точки пересечения: \( (3, 6) \) и \( (-2, 1) \).
Таким образом, множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих заданной системе неравенств, представляет собой область, находящуюся выше параболы и ниже прямой. Вы можете построить графики этих функций, чтобы визуально увидеть, где пересекаются области.
