В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Чтобы найти наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, начнем с вычисления радиуса вписанной окружности и расстояний от вершин до сторон.

1. Сначала найдем полупериметр треугольника. Полупериметр \(s\) вычисляется по формуле: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника. В нашем случае: \[ s = \frac{6 + 7 + 8}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

2. Теперь вычислим площадь треугольника. Мы можем воспользоваться формулой Герона: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{10.5 \times (10.5 - 6) \times (10.5 - 7) \times (10.5 - 8)} = \sqrt{10.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 2.5} \]

   Сначала найдем значения в скобках: \[ S = \sqrt{10.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 2.5} \] Упрощая, получим: \[ 10.5 \times 4.5 = 47.25, \quad 3.5 \times 2.5 = 8.75 \] Таким образом: \[ S = \sqrt{47.25 \times 8.75} \approx \sqrt{413.4375} \approx 20.34 \]

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности \(r\): Радиус \(r\) можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{s} \] Подставим рассчитанные значения: \[ r \approx \frac{20.34}{10.5} \approx 1.94 \]

4. Теперь найдем расстояния от вершин треугольника до ближайших точек касания вписанной окружности: Эти расстояния равны \(s - a\), \(s - b\), и \(s - c\): \[ d_a = s - a = 10.5 - 6 = 4.5 \] \[ d_b = s - b = 10.5 - 7 = 3.5 \] \[ d_c = s - c = 10.5 - 8 = 2.5 \]

5. Наименьшее из этих расстояний: \[ \text{Минимальное расстояние} = \min(4.5, 3.5, 2.5) = 2.5 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 2.5.