В треугольник со сторонами 6,7,8 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для того чтобы найти наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала нужно понять несколько понятий.

1. Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Центр этой окружности называется инCentered, а расстояние от вершин треугольника до точки касания окружности с соответствующей стороной называется радиусом вписанной окружности.

2. Полупериметр треугольника (p) вычисляется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] где \( a, b, c \) – это длины сторон треугольника. В нашем случае: \[ p = \frac{6 + 7 + 8}{2} = 10.5 \]

3. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) – площадь треугольника. Площадь можно вычислить по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Подставляем наши значения: \[ S = \sqrt{10.5 \cdot (10.5 - 6) \cdot (10.5 - 7) \cdot (10.5 - 8)} = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \]

   В результате вычислений: \[ S \approx \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \approx 84.375 \] (или более точно на основе калькулятора, около 84.65)

   Теперь, находим радиус: \[ r = \frac{S}{p} \approx \frac{84.65}{10.5} \approx 8.06 \]

4. Далее, расстояние от вершины до ближайшей точки касания вычисляется как: \[ d_A = p - a, \quad d_B = p - b, \quad d_C = p - c \] Подставим значения: \[ d_A = 10.5 - 6 = 4.5 \] \[ d_B = 10.5 - 7 = 3.5 \] \[ d_C = 10.5 - 8 = 2.5 \]

Теперь у нас есть все расстояния от вершин до ближайших точек касания:

• \( d_A \approx 4.5 \)
• \( d_B \approx 3.5 \)
• \( d_C \approx 2.5 \)

Таким образом, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника равно 2.5.